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帰謬法

命題 A を仮定したときに矛盾が導出できた場合命題 A の否定が証明できたと考える帰謬法は通常の論理的推論でもよく見られる技法だが、命題論理の自然演繹にも現れる。¬記号を導入することになるので¬の導入規則と呼ばれる。

例えば、A->B と ¬B の真理値が T であるとき、¬A の真理値が T であることを論証するときに、A の真理値が T であると仮定したときに矛盾が推論されれば、仮定 A は正しくない、すなわち A の真理値は F で ¬A の真理値は T であると推論できる。この帰謬法の証明図による証明はつぎのようになる。

A(仮定) A->B
-------------------
B

さらに

B ¬B
-------
矛盾

ゆえに ¬A は定理である。

命題 A が真であると仮定して推論すると矛盾が導かれるのなら、仮定の A が真ではなかった。すなわち ¬A が真だったという議論だが、真理表と対比させたとき必ずしもわかりやすい議論ではない。

そこで、帰謬法の議論と真理表の議論の対比を行ってみた。まず、A, B, ¬A, ¬B, A->B の真理表は次のようになる。

A | B | ¬A | ¬B | A->B
T | T | F | F | T
T | F | F | T | F
F | T | T | F | T
F | F | T | T | T

上の真理表からは、¬B と A->B がともに真なのは一つの可能性のみでそのときは A は偽すなわち ¬A が真になる場合だけだということが分かる。真理表の場合は命題 A と B の取り得る真理値の組み合わせの全てを考えるので、Aが真であると仮定するというような帰謬法の議論は現れない。

そこで、帰謬法の議論が、真理表ではどのように表れるのかを考えてみた。A->B と ¬B が真であるとき ¬A が真であることを証明したいわけだが、帰謬法ではまず、A が真であるときにはどのようなことが起きるかを考える。これは真理表では A の真理値が T であるところだけを注目するということになる。A の真理値が T の時は A->B が真となるのは B が真となるときだけだ。これは ¬B が真であるという前提と矛盾する。したがって、A が真であるということは A->B が真であるという条件下ではありえない。

それでは、A が偽で A->B が真である場合には B の真理値はどうなるだろうか。この場合は真理表の A が偽となる部分だけを考える。この時 A が偽で A->B が真であることが同時に成立しているが、B は真の値も偽の値も取り得る。これは A が偽の場合は ¬B が偽であることを妨げないことを示している。

おかしなことになってきたので議論を整理してみよう。命題 A の真理値は真か偽のどちらかであるので、上の議論は A が真の時と A が偽になる場合がある。この場合次の2つのことが真理表から推論できる。

Aが真と仮定する => ¬B が真であることと矛盾する。
Aが偽と仮定する => ¬B が真であることを妨げない。

つまり A が偽のときは B は真でも偽でもあり得るのだ。ところが、逆に¬B が真であることが分かっているときは、Aは必ず偽であることを示している。つまり、A を仮定してそれが矛盾を導くとき、¬A が真であるという帰謬法の議論が成り立つのは A->B の真理表の性質がそれを可能にしているということを示している。

たとえば、Aが偽の時はBが必ず真になるという次のような真理表では帰謬法が成り立たない。

A | B | ¬A | ¬B | A->B
T | T | F | F | T
T | F | F | T | F
F | T | T | F | T
F | T | T | F | T

すなわち ¬B と A->B は A が真であることと矛盾するが、同時に A が偽であることとも矛盾する。

Aを仮定してそれが矛盾を誘導すれば、¬A が立証できるとする帰謬法のうさん臭さは、それが独立な命題 A,B と含意について用いられる議論なのだという前提を明示していないからだ。

自然演繹は古代から続いた論理的思考を記号化しているが、その正当性は真理表と対比させることで検証する必要があるのではないだろうか。真理表は要素命題についてあり得るすべての可能性を列挙しているからだ。それに比べ自然演繹の推論は語られない暗黙の仮定が潜んでいる危険性があるのではないだろうか。

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by tnomura9 | 2018-09-23 08:11 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

命題論理の自然演繹

命題論理を学ぶとき、要素命題の真理値から複合命題の真理値を計算する真理表を作るのは理解しやすい。しかし、自然演繹の推論規則をつかって命題の証明をするのは理解するのが難しい。これは推論規則の -> 導入や -> 除去などの推論規則の意味が分かりづらいのと、仮定が抜け落ちるという概念が理解しがたいからだ。そこで、これらの概念を真理表を利用してイメージできないか考えてみた。

まず、推論規則の -> 除去を考えてみる。これは推論図では次のように表現される。

A A->B
----------
B

これは A と A->B の真理値がどちらも T であれば、命題 B の真理値も T であることを示している。これは含意 -> の次のような真理表から簡単にわかる。

A | B | A->B
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

上の真理表では A と A->B がともに T の場合は B の真理値は T しか取り得ないからだ。-> の除去規則は前件肯定を表している。

それでは -> の導入規則はどうだろうか。これは次のような推論図になる。

B
-----------
A -> B

これは後件 B の真理値が T であれば、任意の命題 A について含意 A -> B の真理値が T となることを示している。これは、含意の真理表を見ることで妥当な推論であることが分かる。なぜなら、後件 B の真理値が T の場合、前件 A の真理値が T の場合は当然 A->B の真理値は T であるし、前件 A の真理値が F の場合は後件 B の真理値のいかんにかかわらず、含意 A -> B の真理値は T となるからだ。

このように論理記号についての推論における導入規則、除去規則の正当性は真理表で確認することができる。

最後に「仮定が抜け落ちる」という用語の意味について考えてみる。

そこで A->B と B->C という二つの含意の真理値が T のときの新しい含意 A->C の真理値について考えてみる。まずこの3つの含意についてはつぎのような真理表を作ることができる。

A | B | C | A->B | B->C | A->C
T | T | T | T | T | T
T | T | F | T | F | F
T | F | T | F | T | T
T | F | F | F | T | T
F | T | T | T | T | T
F | T | F | T | F | T
F | F | T | T | T | T
F | F | F | T | T | T

この真理値表で A->B と B->C の真理値がともに T である行は4か所あるが全て A->C の真理値が T であることが分かる。したがって、この推論は正しいが、推論図を使った証明はひと工夫がいる。

まず、含意 A->B について、前件 A の真理値が T の場合を考える。この時前件肯定の推論から B の真理値は T である。前件 A が偽の場合は、含意 A->B の場合は B の真理値が T でも F でも A->B は真であるから、B の真理値は不定である。

A(仮定) A->B
-----------------
B

次に A の真理値が T であるというこの仮定の下で B と B->C から何が推論できるかを考えると、明らかに C の真理値は T である。

B B->C
-----------
C

A の真理値が T であるという仮定から C の真理値は T であると推論できたので、C の真理値が T である場合に -> の導入規則から A -> C が推論される。

C
---------
A->C

結論である A->C の前件の A には A の真理値が T の場合と F の場合が含まれている。A が T の場合には、C の真理値が T であるという結論は A の真理値が T であるという仮定から推論されたのだから、含意 A->C の真理値は当然 T である。一方 A の真理値が F の場合は含意の真理表から C の真理値が T であろうと F であろうと含意 A->C の真理値は T になる。

したがって、A->C の結論を得るのに A の真理値が T であるという仮定は不要であることが分かる。C の真理値が T であることを推論するのに A の真理値が T であるという仮定を用いたが、最終的な結論 A->C においては A が真であるという制約が必要なかったことが分かる。したがって、一連の推論についてA の真理値が T であるという仮定は「抜け落ちる」ことがわかる。したがってこの推論の前提は A->B の真理値が T かつ B->C の真理値が T であり、結論は A->C の真理値が T であるということになる。これを推論図で表すと次のようになる。

A->B B->C
--------------
A->C

また、仮定 A が抜け落ちる理由を上の真理表からも考えてみる。上に記した真理表から A->B と B->C の真理値がともに T になる条件下では A の真理値が T のときは C の真理値も必ず T になる。また、この場合結論の A->C は T となる。

それでは A の真理値が F の時はどうだろうか。この場合は C の真理値が T であっても F であっても、A->C の真理値は T となる。この場合、A->B, A-C の真理値の取り方は A->C の真理値が T であるという結論に影響しない。当然、A->B, A->C の真理値がともに T であるという条件下でも A の真理値が F であるときは A->C の真理値は T である。

結局 A の真理値が T でも F でも、結論である A->C の真理値は T となるから、命題 A が真であるという仮定は必要ないことになる。したがって、A->B B->C ならば A->C であることが証明できる。

こう考えると、仮定 A が抜け落ちるという表現よりも、「A の真理値が T と仮定すると C の真理値は T であるから、A->C の真理値は T である。また、A の真理値が F であると仮定すると A->C の真理値は T である。よって A の真理値が T の場合も F の場合も A->C の真理値は T となるから、A の真理値に対する何の仮定も必要ない。」という論証の方が事情がよくわかる気がする。

自然演繹の証明は、推論規則を用いて論理式を変形していく手続きだ。これは、要素命題に真理値を当てはめて複合命題の真理値を調べる真理表の方法とは概念が異なっている。しかし、自然演繹では変形規則が多く、仮定が落ちるなどの概念も理解しずらいため難しく感じてしまうが、その手続きの意味を理解するために真理表を活用することができる。

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by tnomura9 | 2018-09-16 11:34 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

前件肯定 modus ponens

「A 並びに A -> B が真なら、Bは真である」という前件肯定は命題論理の推論の基礎になっている。しかし、この推論の正当性はどうすればわかるのだろうか。

命題論理で A や B で原子命題を表すとき、A や B の真理値が真であるか偽であるかは不定だ。これらは命題変数であり、その真理値は真の可能性も偽の可能性もある。したがって次の含意の真理表のように A と B の真理値のあらゆる組み合わせについて含意の真理値が決まる。

A B A-> B
T T T
T F F
F T T
F F T

Aの真理値とBの真理値の組み合わせは、Aの真理値とBの真理値の間に暗黙の関連がない場合、すなわち、命題Aと命題Bが互いに独立な場合は 2^2= 4 なので、上の真理表はAとBの真理値のあらゆる組み合わせを尽くしている。つまり、含意 A->B の取りえる真理値の全ての可能性を尽くしていることになる。

真理表の以上のような性質を考えると、「A並びにA->Bが真なら、Bは真である」という前件肯定の正当性を真理表から読み取ることができる。AとA->Bがともに真となるのは真理表では、A = T, A->B =T, B = T の場合のみであり、Bが真であるという推論は正当である。

このように命題論理の推論の正当性は、原子命題の真理値の全てを組み合わせた真理表から保証される。命題論理の本質は、すべての起こりえる場合を考えつくすということだ。

論理演算の規則の下で「A と A-> B が真であれば B は真である」という前件肯定が保証されれば、A と A -> B がトートロジーであれば、B は常に真すなわち B もまたトートロジーであることが保証される。すなわち原子命題のどのような真理値の組み合わせにおいても命題 B は真となるからだ。そうして、この方法で無限にトートロジーを作り出していくことができる。

しかし、このようにして体系的にトートロジーを作っていくということが論理的推論なのかどうかというと、少々違和感がある。確かに (A ∧ (A -> B)) -> B はトートロジーだが、これが「A並びにA->Bが真なら、Bは真である」という前件肯定と同じ意味だとは考えにくい。上の論理式がトートロジーであるというのは、命題 A や B に含まれる要素命題のどのような真理値の組み合わせに対しても、その論理式の真理値が真であるということを意味しているが。A や B の要素命題のどのような真理値に対して論理式の真理値が真であることを知りたいわけではなく、A と A->B が真であるという条件の下で B が真であるかどうかを知りたいのだからだ。

命題論理の推論について勉強するときの違和感というのは、そういうところにあるのではないだろうか。

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by tnomura9 | 2018-09-08 11:49 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)