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P(x) ⋀ Q(x) の真理集合

領域 D について述語 P(x) が与えられているとする。この時、領域 D の対象 a について P(a) は必ず真または偽の値をとる。このとき、P(a) が真となる対象を集めた集合 P は領域 D の部分集合であり、次のように内包的に定義できる。

P = { x ∊ D | P(x) = True }

このように定めた真理集合 P について、P(a) が真であるという命題と a ∊ P という命題は同値である。すなわち、a のいずれの場合についてもこの二つの命題の真理値は一致する。

原子述語 P(x) の真理集合をこのように定義した時、原子述語を論理記号で結合してできる P(x) ⋀ Q(x) などの複合述語の真理集合を考えてみる。

いま複合述語 R(x) を次のように定義する。

R(x) = P(x) ⋀ Q(x)

このとき述語 R(x) の真理集合は次のようになる。表現を簡潔にするために、集合の内包的定義に現れる述語が対象に適用された場合命題が真である場合のみを集合の要素として含むということにする。

R = { x | R(x) } = { x | P(x) ⋀ Q(x) }

術後 R(x) を領域 D の対象 a に適用した R(a) は命題だから、R(x) を a に適用してできる命題についてつぎのような真理表を作ることができる。

P(a) Q(a) | P(a) ⋀ Q(a) .... R(a)と同じ
----------------------------
True True | True
True False | False
False True | False
False False | False

R(x) = P(x) ⋀ Q(x) の真理集合は R(a) = True となる対称 a からなる領域 D の部分集合なので、この真理表から、a が R(x) の真理集合 R の要素となるのは、P(a) が真で、かつ、Q(a) が真のときのみであることがわかる。すなわち、

P(a) = True かつ Q(a) = True のとき、かつそのときに限り P(a) ⋀ Q(a) = True である。

したがって、命題 P(a) と a ∊ P の同値性から、

a ∊ P かつ a ∊ Q のとき、かつその時に限り a ∊ R

結局、

a ∊ P かつ a ∊ Q <=> a ∊ R (= P ⋂ Q)

⋀ 以外の論理演算子についても同様の考察ができるから、P(x) ⋀ Q(x) のような複合述語の真理集合は、述語の論理演算子を真理集合の集合演算に置き換えたものと等しいことがわかる。

1階述語論理は命題論理の拡張だといわれる。それは、命題論理の公理に、量化子を用いた述語論理の公理を追加するのでその意味では拡張である。しかし、命題論理のモデルと1階述語論理のモデルは異なっている。

命題論理のモデルは、真理値の集合とその論理演算子からなるブール代数だ。1階述語論理のモデルは、領域 D と領域 D の冪集合と述語と真理値の集合の4つ組である。したがって、命題論理が単純に1階述語論理に発展できるというわけではない。上の議論では1階述語論理の要素をいったん命題という形で命題論理で扱えるような形にして推論を行ったのだ。

上で述べた真理集合は一般的な定義での集合ではない。1階述語論理のモデルにおける、排中律を満たす述語で定義できる集合だ。集合に与えられたこの制限は、しかし、ラッセルのパラドックスを起こさず、論理と集合の議論が矛盾なく行えるという利点を持っている。

by tnomura9 | 2022-07-30 17:02 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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