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束と論理

「論理とは何か」という問いに一言で答えることができるだろうか。束論についていろいろと散策していたらそれができることに気が付いた。すなわち、論理とは、

「束という数学的構造の代数である。」

ということだ。束の定義は次のようになる。(Wikipedia より引用

半順序集合 (L, ≤) が束であるとは、以下の二条件が満足されるときに言う。

二元の結びの存在
    L の任意の二元 a, b に対して、二元集合 {a, b} が結び(上限、最小上界、和) a ∨ b を持つ。
二元の交わりの存在
    L の任意の二元 a, b に対して、二元集合 {a, b} が交わり(下限、最大下界、積) a ∧ b を持つ。

これは抽象的な概念だが、幸い直感的に理解できる例がある。それは領域 D の冪集合 P(D) だ。P(D) では和集合と、共通部分という演算について閉じており、また、包含関係という半順序が定義できる。さらに、それらの分配法則や補元の定義もできる。これらは、論理の性質そのものだ。

つまり、数学的対象が束であれば、それは論理で余すところなく記述することができるのだ。

しかし、集合も個体も対象として考え、集合の外延を個体間の所属関係から求める構造は、束の要件を満たしていない。これらの構造は「自分自身を要素として含まない集合」などの自己言及が可能だが、束ではないので論理をこの構造の代数として用いることができないのだ。

ラッセルのパラドックスが明らかにしたのは、束という構造をとらないシステムには論理が適用できないということだ。

ところで、数学的対象のなかで最も重要な自然数は束である。自然数はすべての代数の基礎であるので、ほとんどの数学的対象に論理が適用できるのも理解できる。

また、集合と論理の演算の類似は、どちらも束としてとらえることができるからなのだろう。「論理とは何か」、「どうして論理と集合は似ているのか」、「論理で扱える集合とはどのような集合か」、「どうして論理は普遍的なのか」などの頭を悩ませる問いは、「論理は束の代数である」という観点からすっきりと理解できる。

束論は教科書を買って勉強し始めたばかりなので、上の議論は論証を含まない直感的なものだが、おそらく正当なものだろうと思う。

by tnomura9 | 2021-06-06 05:31 | 命題論理 | Comments(0)
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