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集合と記号論

素朴集合論における集合の定義では「集合とは対象のあつまり」である。この定義からは対象 a1, a2, ... an の集まり {a1, a2, ... , an} とその集まりを表す集合 A が定義される。つまり、集合の定義は物の集まりである {a1, a2, ... , an} とそれを表す集合 A との2層構造になっている。

この2層構造は明らかにソシュールの記号論のシーニュ(記号)に対応している。この2層構造全体は集合を表す記号(シーニュ)であり、集合 A はシーニュにおけるシニフィアン(記号表現)であり、対象の集まり {a1, a2, ... , an} はシニフィエ(記号内容)である。このシニフィアンとシニフィエは不可分に結びついてシーニュを形成している。

記号の場合、記号表現は記号内容とは別の対象である。「雪」という単語(記号表現)は、自然界で空から降ってくる雪という記号内容を指し示しているが、雪そのものではない。しかし、この両者は不可分に関係していて、「雪」という単語だけでそれが指し示す内容がないのも、空から降ってくる白いものに名前がないというのも、記号の観点からはおかしなことになる。

「集合とは対象のあつまり」という集合の定義は、それがまさに集合が記号として取り扱われることを示している。すなわち、集合と言う「記号表現」と物の集まりという「記号内容」が不可分に結びついているということである。集合の外延的記法は、

A = {a1, a2, ... , an}

である。この定義では集合 A と対象の集まりの関係は不可分であるが恣意的なものである。A が B に変わったとしても論理的に問題は起きない。それでは、集合の内包的記法ではどうだろうか。

A = {x | P(x) }

この場合述語 P(x) を充足する対象 x を集めたものが集合 A になるのだが、内包的定義では暗黙にすべての対象に対し P(x) を充足するかどうかを試すことが要求される。全ての対象を考えるとすると集合 A 自身も対象であるから P(A) を考えなくてはならなくなる。

このような述語 P(x) の自己言及がラッセルのパラドックスを引き起こしてしまう。しかし、集合を対象の集まりとして定義するとき、その記号としての性質から、記号表現としての集合それ自身が記号内容である対象の集まりと不可分に結びついている。したがって、内包的定義では述語の自己言及が必須となる。ラッセルの集合にかかわらずすべての集合には自己言及が発生してしまうのだ。

このような問題は述語 P(x) を適用させるべき全ての対象範囲があいまいなため起きる。対象を領域 D に限ると、集合の内包的定義は、

A = { x ∈ D | P(x) }

となるので、集合 A への自己言及 P(A) は起こらない。また、仮に A ∈ D のように A が領域 D の要素であって、P(A) が意味を持っていたとしても、{x ∈ D | P(x) } は領域 D の部分集合のどれかであるので矛盾は発生しない。

ラッセルのパラドックスの不可解な内包公理の振る舞いは、述語を適用できる対象の範囲は何かということがあいまいなためにおきる現象であるとも言える。

by tnomura9 | 2019-03-19 21:07 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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