命題論理と全称命題

領域 D のすべての要素 a について、原子的な述語 P(x) による命題 P(a) が必ず真偽の真理値のどちらかを持つとき、すなわち、排中律が成立するとき、領域 D の任意の原子的な命題 P(a) は命題論理に従う。また、原子的な命題 P(a), Q(b), ... 等を論理記号で結合した複合命題も命題論理に従う。なぜなら、命題論理においてこれらの複合命題に含まれる原子命題の個数は有限個だからだ。有限個の原子命題からなる複合命題は再帰的に必ず真偽の真理値のどちらかを持つことが言えるからだ。

しかし、領域 D の要素数が無限の場合、述語論理の全称命題

∀x P(x)

の真理値を命題論理のような方法で決定することはできない。

∀x P(x) = P(a) ∧ P(b) ∧ ...

と全称命題を原子命題の論理積として展開しようとしてもすべての命題を展開することはできないからだ。展開の過程でどれか一つの命題 P(n) でも偽であれば ∀x P(x) は偽となってしまうからだ。

このようなときには、数学では伝統的に「全て」を「任意の」という言い方に置き換える。領域 D のどの要素 a をとっても P(a) が真なら、領域 D の全ての要素についても P(a) が真であると考えてもいいではないかという議論だ。

「全て」と「任意の」という二つの操作は同じものではない。「全て」の場合は要素全てを列挙することができるのに対し、「任意の」というサンプリングの操作では、すべての要素を列挙しているわけではないからだ。

しかし、「全て」と「任意の」が同等なものと考えたとき、命題

∀x P(x)

は任意の a に対し P(a) であると解釈することができる。これならば最初の例のようにすべての P(a) を列挙する必要はないので、これに真理値を割り当てることができる。すなわち、任意の a に対し常に P(a) が真ならば命題 ∀x P(x) は真である。なぜなら P(a) が偽となるような要素 a を見つけ出すことができないからだ。

∀x を「任意のx」と読み替えるやり方は、x を全て列挙しているわけではないので、これを「全て」と同じと考えるのは不適当だ。しかし、それを容認することで、

∀x (P(x)->Q(x))

のような複合的な述語を持った命題も解析できる。すなわち、どのような要素 a についても P(a)->Q(a) が真なのだから。P(a) が真であって Q(a) が偽であることはないということが、命題論理の法則で示される。したがって、P(x), Q(x) の真理集合を P, Q とすると、a ∈ P ならば a ∈ Q 、すなわち、P ⊂ Q であることが推論できる。

このように「全て」を「任意の」に言い換えることは全く正当なように見える。しかし、ラッセルのパラドックスがこのような無邪気な考え方が成立しない場合があることを示している。

すなわち、どのような「自分自身を要素として含まない集合の集合」を集めてきたとしても、その集合は自分自身を要素としては含まない。すなわち、任意の「自分自身を要素として含まない集合の集合」は自分自身を要素としては含まない。それにも関わらず、全ての「自分自身を要素として含まない集合の集合」は矛盾となるからだ。

すなわち、「全て」を「任意の」に置き換えるやり方は多くの場合妥当だが、しかし、妥当だと考えることはできない場合があることを示している。
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by tnomura9 | 2018-03-15 07:47 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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