単純な述語の全称命題と存在命題

領域 D の全要素に対し述語 P(x) が定義されているとき、要素 a と述語のペア P(a) は命題である。また、P(a) は真または偽のどちらかの真理値をとる。P(x) の真理値が真となるような要素 x の集合 {x | P(x)} は述語 P(x) の真理集合である。真理集合は左のような内包的定義で必ず定義できる。また、真理集合 P は領域 D のべき集合の要素である。

この要素的な述語を論理記号で連結した複合的な述語もまた、領域 D の述語である。たとえば、P(x) -> Q(x) という述語は変数 x に領域 D の要素を a を当てはめたとき、P(a) -> Q(a) は必ず真または偽の値をとる。この複合的な述語も当然真理値をもつので、真理集合が存在し、それは、(D - P) ⋁ Q である。この真理集合もやはり領域 D のべき集合の要素である。

領域 D については、このような複合的な述語の他に、原子命題を論理記号で結合した複合命題がある。複合的な述語では主語の x は P(x) と Q(x) は一致していたが、主語が一致していない命題 P(a) と Q(b) についても P(a) -> Q(b) のような複合命題は考えることができる。このような命題については真理集合は考えられない。

領域 D における命題はこのように、要素的な述語と領域 D の要素による命題。複合的な述語と要素による命題、要素的な命題の複合命題、あるいはそれらの組み合わせが存在するが、それらの命題すべてに命題論理の定理は適用することができる。命題論理の定理はあくまでも真理値を持つ命題の関係を述べたものであり、けっきょくのところ述語と領域の要素のペアである命題 P(a) について述べているからだ。実のところ、命題論理の立場からは述語の真理集合が何かということについては無視できる。

一方、述語論理では述語の性質そのものが議論の対象となる。要素的な述語の全称命題、

∀x.P(x)

は領域 D の全ての要素 x について P(x) が真であれば真の真理値をもち、そうでなければ偽の真理値をもつ。この命題は真理値を持つが、それは P(x) と要素 a とのペア P(a) で決まるわけではない。つまり、この命題を構成する述語 Q(x) は存在しない。この命題が規定しているのは述語 P(x) の真理集合 P が領域と等しい、すなわち、P = D であるということである。この命題が偽である場合それは P /= D すなわち集合 (D - P) が空集合ではないということを意味している。

要素的な述語の存在命題、

∃x.P(x)

は、P(a) が真となるような要素 a が少なくとも一つは存在することを規定する。この命題が真であるとき、述語 P(x) の真理集合は存在するすなわち、真理集合 P が存在する。この命題が偽であるときは述語 P(x) の真理集合は存在しない。すなわち、P は空集合である。このとき、(D - P) = D であるから、P の補集合は D と等しくなる。すなわち ∀x.¬P(x) と ¬∃x.P(x) は同値だ。

このように量化子を用いた全称命題や存在命題は、述語 P(x) の真理集合を定めるのではなく、述語の真理集合の性質を規定するものだ。たとえば、

∀x.(P(x)->Q(x))

という命題が真であれば、

(D - P) ⋁ Q = D

であるから、

P ∧ (D - Q)= φ

したがって、

a ∈ P ならば a ∈ Q すなわち P ⊂ Q (または、a /∈ Q ならば a /∈ P)

である。このように全称命題は述語の真理値を定めるものではなく、述語の真理集合の関係性を定めるものだ。さらに、存在命題について考えてみる。

∃x.(P(X)->Q(x))

これは、ある a に対し ¬P(a) ⋁ Q(a) が真であることを意味しているから、P(x), Q(x) の真理集合で言えば (D - P) = Q = φ すなわち、

P = D かつ Q = φ

の時以外は命題が真になることをしめしている。すなわち、P(x) の真理集合が領域 D と一致し、かつ、Q(x) の真理集合が空集合の場合以外は上の命題は妥当な命題だ。

全称命題や存在命題は真理集合そのものではなく、真理集合間の性質を規定する述語論理の方程式のようなものだ。述語と領域 D の要素のペアからなる命題や、その真理集合にくらべ全称命題や存在命題のイメージがつかみにくいのは、それらが、真理集合そのものではなく、真理集合間の関係性を規定するものだからだ。




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by tnomura9 | 2018-03-11 17:25 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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