領域と存在命題

領域 D における論理の構成要素は明確だ。命題論理の場合も述語論理の場合も変わりない。それは、述語 P(x) と領域 D の要素とのペア P(a) が命題であるということだ。

命題論理の場合は、命題 P(a) が真か偽の真理値のどちらかを持つという条件があれば、命題論理の定理を適用することができる。命題論理の場合は量化子が導入されているので、命題が真か偽の真理値のどれかを取るという条件だけでは、命題論理を領域 D に適用できない。述語論理では述語 P(x) の真理集合 P = {x| P(x)} を考えることで、領域 D の要素 a が述語 P(x) を充足することを

a ∈ P

で表すことができる。

論理と集合で循環しているようだが、命題論理と述語論理の関係を考えるのには集合で考えるのが便利だ。存在命題

∃x.P(x)

を集合で表すと、

a ∈ P となるような a が存在する。(P(x) の真理集合 P は存在する。)

という表現になる。注意が必要なのは、真理集合 P が存在することはわかるが、真理集合 P がどのような集合なのかはこの命題ではわからないということだ。a がたった一つしか含まれないのか、それともかなりの量の要素を P が含んでいるのか、存在命題だけからは知ることはできない。

それでは、次の場合はどうだろうか。

∃x.P(x)->Q(x)

真理集合でこの命題を論じる場合は P(x)->Q(x) と同値の ¬P(x)⋁Q(x) を利用したほうがいい。この命題の真理集合は便宜的に P の補集合を ¬P と書くことにすると、¬P∪Q である。したがって上の存在命題は、

a ∈ ¬P∪Q となる領域 D の要素 a が存在する

という意味を表している。これは ¬P∪Q という集合が存在するということである。すなわち真理集合 ¬P と Q の和集合が存在することを示している。しかし、¬ P と Q の和集合はどのような場合にも存在する。ただし、P = D, Q = φのときは、¬P∪Q はどのような要素も含まない。したがって、

∃x.P(x)->Q(x)

は P = D, Q = φ でない限りは、自明な命題だ。このように、量化子を含んだ命題は、真理集合と真理集合の関係性を述べている。P(x) という述語は真理集合 P を定めるが、Ex.P(x)->Q(x) は特定の真理集合ではなく、真理集合と真理集合の関係を定めているのだ。

このように、命題論理は確定した真理集合を扱うのに対し、述語論理の量化子を含む命題は、真理集合と真理集合の関係性を記述している。命題論理の命題にくらべ、量化子を含む命題の取り扱いが難しく感じるのは両者の命題の性質が異なっているからだ。



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by tnomura9 | 2018-03-06 07:29 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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