領域と述語論理

領域 D の一階述語論理の場合も述語 P(x) と対象 a のペア P(a) を命題と考えるのは、命題論理の場合と同じだ。また、P(a) が真となるような要素の集合は領域 D の部分集合であり、これを真理集合 P で表すことができる。このとき、述語 P(a) が真であることと a ∈ P であることは同値と考えることができる。すなわち述語論理の命題を集合の演算に置き換えることができる。

しかし、述語論理の場合は量化子のついた命題を扱う。すなわち、∀x.P(x) や∃x.Q(x) のようなものも命題と考える。このような命題はどうすれば集合の表現に置き換えることができるだろうか。

たとえば、∀x.P(x) はどのように解釈したらよいのだろうか。領域 D の全ての要素 x について P(x) が真となるということだから、これは 述語 P(x) の真理集合が領域 D と一致していることを意味する。すなわち、

P = D

である。それでは ∀x.P(x)->Q(x) はどうだろう。いま述語 R(x) を考え、

R(x) = P(x)->Q(x)

とする。この時 R(x) の真理集合はどのようなものだろうか。R(a) = P(a)->Q(a) が真となるのは命題論理の性質から P(a) が偽かまたは Q(a) が真の時である。すなわち R(a) = P(a) -> Q(a) が真になるのは a /∈ P または、a ∈ Q の時だ。

これは述語 R(x) = P(x)->Q(x) の真理集合が Pの補集合と Q の和集合であることを意味している。Pの補集合を便宜的に¬P で表すことにすると、P(x)->Q(x) の真理集合は ¬P ∩ Q である。

したがって、

∀x.P(x)->Q(x) は

¬P ∪ Q = D

このことから

P ∩ ¬Q = φ

つまり、

a ∈ P かつ a ∈ ¬Q を満たす a は存在しない。

a ∈ P ならば必ず a ∈ Q

すなわち

P ⊂ Q

であることが分かる。

これは、∀x.P(x)->Q(x) が真ならば、P ⊂ Q が真であるので、a ∈ P ならばかならず a ∈ Q であることが推論できる。

このことは、すべての人間は死すべきものである。ソクラテスは人間である。ゆえにソクラテスは死すべきものであるという推論の正当性を示している。

このように領域 D という集合を定めるとき、領域 D における対象と述語に関して一階述語論理は真理集合の関係として表現できる。この時、命題と命題の関係である命題論理の法則が、一階述語論理の推論に活用される。また、それによって、量化子を含む命題から真理集合の間の関係が導き出される。このことによって、命題論理では表現できない主語と述語の論理的な関係を、集合の性質として記述できることが分かる。

公理系の観点からはイメージしずらかった命題論理と一階述語論理の関係は、一階述語論理の適用範囲を領域 D に制限することによってわかりやすいものとなる。

論理を領域 D に制限することは論理の一般性を制限することになるかもしれないが、そのことによって、かえって、論理の本質とは何かという問いに答えやすくなるのではないだろうか。すなわち、論理の本質とは集合なのである。
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by tnomura9 | 2018-03-02 21:47 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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