命題論理と一階述語論理

論理学の本を読んでも命題論理と(一階)述語論理の関係がもうひとつよくわからない。例えば、∀x.P(x) というような命題は、領域 D の要素が有限個ならば

∀x.P(x) = P(a1) ∧ P(a2) ∧ ... ∧ P(an)

のように置き換えることができる。しかし、領域 D が無限集合の場合は論理積の項は無限になってしまうのでこのやり方は使えない。このように述語論理と命題論理の関係がいまひとつあやふやなのに、述語論理は命題論理の拡張であるといわれても不満が残る。

これは、命題論理も述語論理も公理系で論じられるからだ。つまり、命題論理の公理に、量化子を加えた公理から組み立てたものが述語論理とされている。こういう意味で述語論理は、命題論理の拡張なのである。公理と推論で体系を組み立てていくやり方は数学の王道だが、このやり方だと、論理とは何かという具体的なイメージを作るのが難しい。論理の本質とは何かというすっきりしたイメージが欲しいのだ。

実は、述語論理とは何かという問いには集合におけるベン図ですべてを答えることができる。論理演算と集合演算は同値なのだ。つまり、ラッセルのパラドックスによって素朴集合論から追放された、命題関数と集合を同値と考える内包公理は、矛盾を起こさないようにできるのだ。

集合がどのような命題関数によっても、内包的に定義できれば、論理的推論はそのまま集合の演算となり、その逆も可能だ。しかし、素朴集合論ではラッセルのパラドックスによって無制限の内包公理は矛盾を引き起こす。ところが、発想を変えれば、無制限の内包公理を矛盾なく採用することができる。つまり、無制限の内包公理が矛盾を起こさないような論理のモデルを作ればいいのだ。

内包公理が矛盾を起こさないような論理のモデルは次のようになる。

まず、対象を集めた素朴集合論の意味での集合を領域 D として考える。この領域Dの部分集合全てを集めた集合をべき集合 2^D とする。領域 D が有限集合の時はこれらの存在は明らかだが、領域 D の要素が無限にあっても 2^D は存在すると考える。

この領域 D において、述語 P(x) を考える。P(x) は領域 D を定義域とし値域が2値集合 {True, False} であるような関数である。領域 D の任意の要素 a について P(a) は 必ずTrue または False の値をとる。このような P(a) は命題である。すなわち、命題 P(a) は必ず True または False の値をとるので領域 D においては命題は排中律をみたす。

P(a) の排中律によって、内包的定義 {x| P(x) が真} は領域 D の部分集合を定める。これを述語 P(x) の真理集合 P という。術後 A(x) と B(x) の表現が違ってていてもその真理集合 A, B が一致する場合この二つの述語は同等と考える。このことは、領域 D の実質的な述語 P は 2^D の要素で類別できることが分かる。したがって、領域 D に関する述語は 2^D の要素と同一視できる。

A(x) ∧ B(x) のような複合命題の真理集合は、A ∩ B のような真理集合の演算結果と一致する。したがって、領域 D の論理演算は、2^D の集合演算に置き換えることができる。したがって、領域 D についての論理演算は 2^D の集合演算に置き換えて議論することができる。領域 D における論理的議論は、領域 D と 2^D における集合の議論として集合論の立場に置き換えられる。

この領域 D は通常の集合でなくてはならない。つまり、D の任意の要素 a について P(a) が真となるが、領域 D に属さない対象 b については P(b) が偽となるような述語 P(x) が存在し、任意の述語 Q(x) に対し領域 D の任意の対象について Q(a) が必ず真または偽の値をとらなければならない。この定義からは、すべての集合の集合は領域にはなりえない。それはその要素である「自分自身を要素として含まない集合の集合」は、「自分自身を要素として含まない」という述語もその否定も充足しないからだ。

これは、集合とは何かという問いへの答えでもある。集合とは「任意の述語 P(x) とその集合の任意の要素 a について必ず P(a) が真または偽の値をとる」対象の集まりである。言葉を変えると集合とは、「その任意の要素と任意の述語の対からなる命題について排中律が存在する要素の集まり」である。

しかし、これは、領域 D が「自分自身を要素として含まない集合」や「自分自身を要素として含む集合」を要素としてとりえないということを意味しているのではない。領域 D の要素にそのような集合が含まれる場合を考えることはできる。ただ、領域 D は「自分自身を要素として含まない集合の集合」を要素としては含まないだけだ。領域 D の部分集合として「自分自身を要素として含まない集合の集合」を考えることはできるが、そのようなものは領域 D の要素としては存在しない。

この領域 D はベン図でいうところの全体集合である。全体集合がなければ、集合 A の補集合は無意味になる。それだけではなく、全体集合が存在することで、論理と集合は同値であると考えることができるようになる。つまり、全体集合である領域 D を考えることで、集合の内包的定義が可能になり、命題の排中律が成立するのである。論理とは、このような内包的定義と排中律が成立する領域 D の演算のことを意味している。

このように、述語 P(x) についての論理を考えるときにその対象を領域 D という集合に制限することによって、排中律と内包公理は成立し、述語 P(x) についての矛盾のない論理を組み立てることができる。領域 D に論理を制限するこのようなモデルではすべての論理的推論は矛盾を含まず、命題論理と述語論理の関係を明確に説明することができるが。それは別の記事になる。


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by tnomura9 | 2018-02-27 04:57 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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