無限公理

素朴集合論の公理のうち、空集合を定義する空集合の公理と、外延性公理、対の公理、和集合の公理、(有限集合に限定したときの)べき集合の公理からは、無限に集合を生成することができる。ただし、このようにして作られる集合はすべて有限集合だ。

これは、自然数は無限にあるが、個々の自然数は有限であることとよく似ている。base case から初めて生成規則で新しい要素を作成する再帰的方法では、無限に操作を続けることはできるが、生成される要素は全て有限集合だ。

しかし、このままでは公理的集合論には無限集合を含めることができないことになる。自然数のような無限集合は数学では普通にあらわれるので、無限集合が扱えない集合論は価値が低い。

そこでこの集合の世界に無限集合を導入するための公理が次に述べる無限公理だ。無限公理は次のようになる。
無限公理 空集合を要素として含み、かつ、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
一読してもどのような集合か全くイメージできない。しかし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つという部分が再帰的定義になっている。このような場合は base case から出発して再帰的定義を要素の生成規則と考えて集合を作ってみると分かりやすい。

この定義で定められる集合を X とすると、X の要素は再帰的定義「任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ」によって生成されることが分かる。そのための出発点である base case は明らかに空集合 {} である。すなわち、

{} ∈ X

である。X の要素 {} に再帰的定義を適用すると {} と {{}} の和集合が X の要素として含まれる。{}の要素は何もないし、{{}} の要素は {} だから、再帰的定義で作られる新しい要素は {{}} である。すなわち、

{}, {{}} ∈ X

である。さらに、この新しい要素 {{}} に再帰的定義を適用すると、新しい要素は {{}} と {{{}}} の和集合なので、{{}, {{}}} になる。従って、

{}, {{}}, {{}, {{}}} ∈ X

さらに、この要素の中で最も新しい {{}, {{}}, {{}, {{}}} に再帰的定義を適用すると、新しい要素は {{}, {{}}} と {{{}, {{}}, {{}, {{}}}} の和集合なので {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}} となる。すなわち、

{}, {{}}, {{},{{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{},{{}}} ∈ X

したがって、x ∪ {x} という再帰的定義で次々に successor を作っていくことができる。これは、公理的集合の世界に自然数を構築する時の方法と同じだ。このように再帰的定義で作られる要素は全て同じ集合 X に属すると定義するのが無限公理の目的だ。

無限公理以外の公理では、空集合から再帰的に集合を作り出し、その中に無限公理によって自然数の集合を再帰的に定義していることになる。ただし、空集合から再帰的に作り出された集合はすべて有限集合であり、無限公理による自然数の集合はそのどれにも含まれない。

無限集合は、他の公理によって定義される集合とは交点がない。ある意味集合ならざる集合を無限公理によって集合として容認しているとも言える。有限集合とは異なり、無限集合は一種のファンタジーではないかという気さえする。


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by tnomura9 | 2018-02-03 19:37 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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