冪集合公理

公理集合論では冪集合公理によって、任意の集合の冪集合が存在する。
冪集合公理 任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する
X が有限集合の場合、冪集合の公理は明らかだ。Xの部分集合をつくるアルゴリズムが存在するからだ。たとえば、集合 X = {a, b, c} のとき、その部分集合を a を含むものと a を含まないものに分ける。

{a, ... }
{b, ...}

さらに、それぞれのグループで b を含むものと、b を含まないものに分ける。

{a, b, ...}
{a, c, ...}
{b, ...}
{c, ...}

さらに c についても同様のグループ分けをする。

{a, b, c}
{a, b}
{a, c}
{a}
{b, c}
{b}
{c}
{}

こうして X の全部の要素について検討すれば全ての X の部分集合を拾い上げることができるので、Xの冪集合は次のように定められる。

P(X) = {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, {}}

この手続は次のようにプログラム化できる。

Prelude> :{
Prelude| let
Prelude| pow [] = [[]]
Prelude| pow (x:xs) = (map (x:) (pow xs)) ++ (pow xs)
Prelude| :}
Prelude> pow [1,2,3]
[[1,2,3],[1,2],[1,3],[1],[2,3],[2],[3],[]]

これまで調べた、外延性の公理、空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理から構築できる公理的集合論の世界は、空集合 {} を base case にして {{}}, {{{}}}, {{}, {{{}}}}, などのように有限集合を無限に作り出していく集合の生成体系で、そのなかでは和集合の演算が導入されている。また、その中にはそれらの集合の冪集合も含まれる。

ただし、ここまでの公理で生成される集合はどれをとっても有限集合だ。集合論の目論見のひとつは無限集合を扱うことだから、この集合モデルに無限集合を取り込みたい。それを可能にするのが無限公理だが、これについては別に述べる。

また、この集合には自分自身を含む集合は存在しない。したがって、自分自身を含まない集合は自分自身を含むかという議論は成立しない。

この集合の世界には和集合の演算は存在するが、それ以外の共通部分などの演算は定義されていない。これは、この集合の世界に内包的な集合の定義を導入することによって、論理演算を集合に適用することが可能になる。これについても別に述べる。

この集合の世界の集合は全て空集合から誘導されたもので、通常の集合とは随分様子が違うが、{{}, {{}}} のようなものは要素を複数含む集合なので、通常の集合と共通な構造があるとも言える。この世界には自然数のような数学的対象は存在していないが、その中に自然数と同じような構造をこの世界の集合で構築することができるので、それを利用すれば自然数の構造を、この集合の世界に映し出すことができる。

結局、公理的集合論の目論見は、論理操作が可能で、矛盾もない集合の世界を構築し、その中に一般的な数学の構造を構築することなのだろう。


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by tnomura9 | 2018-02-02 08:02 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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