命題関数とは何か

領域 D の対象 a, b, c, ... に対し述語 A, B, C, ... が定義されているとき、命題は対象と命題のペア A(a) で表すことができる。一階述語論理の命題は基本的にはこのペアで表現された A(a) のみだ。A(a) には真理値がありそれは T か F のどちらかだ。これは命題論理の命題の定義とも一致する。したがって、一階述語論理の真理値表を作るときは次のように命題 A(a), B(e) などについて作成されなければならない。

A(a) | B(e) | A(a) -> B(e)
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | T

この命題の表現 A(a) の対象の部分を変数 x にしたもの A(x) は命題関数と呼ばれ、対象を引数にとり真理値を値とする関数と紹介されているが、はたしてそうだろうか。A(x) の値がそのような関数であれば、A(x) は命題とは言えず、次のような真理表も作成できないはずだ。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | F

確かに A(x) は変数の x にどの対象を当てはめるかによって T または F の真理値をとるので、一種の命題と言えないこともない。しかし、A(a) 型の命題では T と F のどの真理値を持つかは決定しているが A(x) の真理値は T とも F とも言うことはできないのでこれを命題ということはできないのではないだろうか。

したがって、命題関数の値は真理値ではなく命題だと考えるべきだ。命題関数 A(x) は引数に領域 D の対象を取り、値が A(a) のような命題である関数なのだ。命題 A(a) は真理値をとるので、命題関数の値が真理値ともいうことができるかもしれないが、A(x) の値はあくまでも命題と考えたほうが取扱いに整合性ができてくる。

たとえば上のような真理値表は、命題関数 A(x) の値が命題であれば、対象 x が共通な命題の間の真理値表とみることができる。ところが、命題関数の値が命題であるという考え方からは、この真理値表は対象が共通でない命題どうしの間でも作成でき、それは次のようになる。

A(x) | B(y) | A(x) -> B(y)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

あきらかに、この真理表と対象 x が共通な命題どうしの真理表の意味合いは違う。これは、命題関数の値が命題であると考えることで区別することができるが、命題関数の値が真理値であると考えるとその差異が曖昧になってしまう。命題関数の値は真理値ではなく命題であると考えることで議論に整合性が出てくるのだ。

しかし、命題関数 A(x) の値が真理値であると考える考え方は便利な点がある。つまり、命題関数を真にする対象の集合を A(x) = T で表すことができることだ。A(x) が命題であるとこのような芸当はできない。しかし、このような問題も命題を引数としその命題の真理値を値とするような関数 V(x) を考えると V(A(x)) = T で同様のことができる。むしろ、この方が意味合いの紛れがない。やはり、A(x) の値は命題だと考えたほうが良いと思う。

命題関数の値が命題であると考えることで、全称命題のような量化命題の意味も変わってくる。命題関数 A(x) の値が命題であるという立場からは、∀x.A(x) というのは述語 A と領域 D の対象とのペアで作られた命題の真理値が全て T であることを意味している。このとき、∃y.A(y) は述語が A である命題のうち真理値が T であるもののいくつかを表しているから、自然に、

∀x.A(x) -> ∃y.A(y)

という関係が理解できる。

命題関数の意味合いにはこの他にもいろいろな物がある。たとえば A(x) を述語 A とのペアで真理値が T となる領域 D の対象の集合と考える考え方だ。この考え方には述語 A を満たす領域 D の部分集合である真理集合 A* を考えることができるので便利だ。これを A(x) の値が命題であるという考え方で説明しょうとすると少々面倒な操作が必要になる。したがって、実際には命題関数の意味は TPO によって使い分けたほうが便利だ。しかし、それらの意味付けが干渉しあって混乱したときは、A(x) の値が命題であるという立場に戻ることによってそれらを整理することができる。

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by tnomura9 | 2017-09-20 06:22 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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