全称命題の真理表

命題論理では含意の真理表は次のようになる。

A | B | A -> B
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | F

A や B は特定の命題を表しているのではないのでこれらは命題変数と呼ばれる。従って、真理表では含意 A -> B の真偽は原子命題 A と B の真理値の組み合わせで決まる。

ところで、領域 D についての命題は領域 D の対象 a, b, c, ... と述語 A, B, C, ... の組み合わせ、たとえば A(a) で表せる。また対象の部分を変数にした A(x) は命題関数とよばれ、領域 D の対象を引数にとり、命題を返す。命題関数 A(x) を別の見方からみると、これは領域 D の対象と述語 A で作られる全ての命題を表しているとも考えられる。これは、上の命題論理の命題変数と同じ意味であつかう事ができる。従って、一階述語論理の含意の真理表はつぎのように作ることができる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

この真理表の作り方は、命題論理の真理表と全く変ることはない。命題変数 A(x) は領域 D について真の場合も偽の場合もあり、命題変数 B(x) についても同様だ。

しかし、一階述語論理には量化子を使った命題がある。たとえば、∀x.(P(x) -> Q(x)) のような全称命題だ。このばあい全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は、領域 D の全ての対象についての命題変数 A(x) -> B(x) の真理値のパターンによって決まる。すなわち、A(x) -> B(x) の真理値が領域 D の中で T でも F でも取ることができるときは ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は F である。したがって、全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理表は次のようになる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x) | ∀x.(A(x) -> B(x))
T | T | T | F
T | F | F | F
F | T | T | F
F | F | T | F

この真理表における ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は個々の A(x) と B(x) の真理値の組み合わせで決まるのではなく A(x) -> B(x) が領域 D 全体についてとり得る真理値のパターンによって決まる。すなわち、領域 D の全対象について A(x) -> B(x) の真理値のとり得るパターンが T, F, T, T であるとき、∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は F である。

しかし、領域 D の全ての対象について A(x) と B(x) の組み合わせの全てのパターンすなわち (T, T), (T, F), (F, T), (F, F) が現れるわけではない。たとえば、A(x) が真ならば B(x) は必ず真であるというような述語間の関係が存在するとき上の真理表は次のようになり、∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は上の真理表とは異なって T になってしまう。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x) | ∀x.(A(x) -> B(x))
T | T | T | T
F | T | T | T
F | F | T | T

このように全称命題の真理値は、個々の命題変数の真理値の組み合わせではなく、領域全体についての命題変数の真理値のパターンで決まる。

このため、全称命題の真理表については命題論理の真理表とは異なる注意が必要になる。命題論理の真理表では複合命題の真理値は要素的な原子命題の真理値で決定できるため、すべての場合に同じ真理表で対応できた。しかし、全称命題については、量化子のつけられた命題変数の、領域 D 全体における真理値のパターンで真理値が決まる。したがって、領域 D における命題変数の真理値のパターンいかんによっては、全称命題の真理値が異なってしまう。

たとえば全称命題 ∀x.A(x) の場合、領域 D において A(x) の真理値が T と F の両方をとり得るのか、T だけしか取らないのか、F だけしか取らないのかの3つのパターンがある。そうして、それぞれのパターンでこの全称命題の真理値はかわってくるので、それぞれの真理表を作らなければならない。しかし、領域 D における A(x) の真理値のパターンはこの3つだけなので、3つの真理表を作成することで、∀x.A(x) についての一般的な議論をすることができる。

以上の議論については全称命題について述べたが、存在命題の場合も同じようなやり方ができる。いずれにせよ、一階述語論理であっても命題論理と同じように真理表による分析はできるのだ。真理表を作ることができるということは、一階述語論理の性質を真理表を具体的に作成することで議論することができることを意味する。一階述語論理につきまとう抽象的な印象を随分和らげることができる。

例として ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) が同値であることを証明してみる。まず、A(x) が領域 D の対象全体について真理値を T も F もとり得る場合の真理表は次のようになる。A(x) の真理値は T と F の両方が存在するので ∀x.A(x) の真理値は F である。従って ¬(∀x.A(x)) の真理値は T である。一方 A(x) の真理値のうち A(x) が F になるものが存在し、その時 ¬A(x) は T になるので、∃x.(¬A(x)) の値は T である。すなわち、¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) は同値である。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
T | F | F | T | T
F | T | F | T | T

上では、領域 D について A(x) が T と F の両方の値を取る場合について述べたが、一般的な議論のためには、領域 D について A(x) が T の値しか取らない場合と、A(x) が F の値しかとらない場合も考えなくてはならない。

先ず、A(x) の値が領域 D において T の値しか取らない場合は A(x) の値は常に T なので、¬(∀x.A(x)) は F になるが、このときは ¬A(x) の値は常に F なので∃x.(¬A(x)) の値も F になり両者の真理値は一致する。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
T | F | T | F | F

次に、A(x) が常に F となる場合は次のように ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) の真理値は T となるが、この場合も両者の真理値の一致がみられる。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
F | T | F | T | T

このように領域 D における A(x) の可能な真理値のパターンで3つの異なる真理表の作成が必要になるが、どの場合にも ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) の真理値は一致するので両者は同値であると結論づける事ができる。一階述語論理には、量化子を使った命題があるからといっても、これを真理表で議論するのは不可能ではないし、難しくもない事がわかる。


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by tnomura9 | 2017-09-03 22:04 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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