含意の全称命題の意味

「全ての対象についてそれが人間であるならば、それは死すべきものである。」という全称命題が真であるということはどういうことを意味しているのだろうか。

これを記号化すると ∀x. (P(x) -> Q(x)) となる。そこで、領域 D の対象 a を取り上げて P(a) -> Q(a) という命題を作ってみる。これは含意の複合命題だから、その真理表を作ることができ、それは次のようになる。

P(a) | Q(a) | P(a) -> Q(a)
T | T | T
T | F | F
F | F | T
F | F | T

この真理表には P(a) -> Q(a) が偽の場合もある。つまり、P(a) が真で Q(a) が偽の場合は P(a) -> Q(a) は偽になる。このことは、含意の真理表は常に真になるとは限らないことを示している。

しかし、∀x. (P(x) -> Q(x)) は全ての x に対して P(x) -> Q(x) が真になることを主張している。これは真理表の結果とは異なるが、P(x) と Q(x) の間に特別な関連性があれば矛盾しない。すなわち ∀x. (P(x) -> Q(x)) の P(x) と Q(x) の間には特別な関係があり、P(a) が真であって、Q(a) が偽であるということはないと考えれば良い。

そのような特別な P(x) と Q(x) の関係では、P(a) -> Q(a) は常に真になる。この場合 P(a) -> Q(a) の真理表は次のように常に真になる。

P(a) | Q(a) | P(a) -> Q(a)
T | T | T
F | T | T
F | F | T

このとき P(a) が真であれば、Q(a) のとり得る値は真でしかない。命題 P(x) の真理集合を P* とすると P(a) が真であるということは、a ∈ P* である。このとき、Q(a) は必ず真であるので a ∈ Q* である。全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) はこの関係が領域 D のどのような対象についても成立することを示している。すなわち、任意の a について a ∈ P* ならば必ず a ∈ Q* である。

このことは領域 D の全ての対象 x について P(x) が真であるということを示しているわけではない。対象 a について P(a) は真の場合も偽の場合もある。しかし、P(a) が真の場合は必ず Q(a) も真なのだ。

ところで、a ∈ P* ならば a ∈ Q* ということは、真理集合 P* と Q* の間に包含関係 P* ⊂ Q* があることを示している。また、P* ⊂ Q* から ∀x. (P(x) -> Q(x)) も証明できる。したがって、全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であるということと、P* ⊂ Q* とは同値である。

このように、一階述語論理のモデルである領域 D という対象の集合を考えれば、述語論理の推論が推論規則だけでなく、領域 D の対象と、述語の真理集合の関係としてとらえる事ができるので、述語論理の性質をより具体的に捉えることができる。

たとえば領域 D = {1,2,3,4,5} において、命題 P の真理集合が P* = {2,3} で命題 Q の真理集合が Q* = {2,3,4} であったとする。この場合明らかに P* ⊂ Q* であるが、この時の P(x) -> Q(x) の真理値を領域 D について全て調べてみると、

x = 1 のとき、P(1) = F, Q(1) = F, P(1) -> Q(1) = T
x = 2 のとき、P(2) = T, Q(2) = T, P(2) -> Q(2) = T
x = 3 のとき、P(3) = T, Q(3) = T, P(3) -> Q(3) = T
x = 4 のとき、P(4) = F, Q(4) = T, P(4) -> Q(4) = T
x = 5 のとき、P(5) = F, Q(5) = F, P(5) -> Q(5) = T

となって ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であるということが分かる。

一般に、一階述語論理の公理系があって、それを充足するモデルを見つけるという順番で考察が行われるが、逆に一階述語論理のはこのような領域 D の性質であって、公理系はそれを無限集合やそのたの数学的構造に適用できるように拡張したものだと考えたほうが、思考の順序としては分かりやすいのではないかと思う。

つまり、一階述語論理は有限集合の領域 D の法則であるが、その他の領域 D については一階述語論理が適用できるかどうかを改めて考えるのだ。この観点からは、ラッセルのパラドックスに別の解釈を与える事ができる。

すなわち、属性関係の与えられた集合という対象の集合である領域 D を考えたとき、この D の構造には一階述語論理が適用できないという考え方だ。ラッセルのパラドックスを集合論の危機ととらえず、このような構造を持った領域 D には一階述語論理が適用できない場合があると考えるのだ。いいかえると、ものの集まりという集合と、属性関係の与えられた対象の外延としての集合とは意味が異なっているということだ。

素朴集合論の集合とはものの集まりであるという定義には矛盾はないような気がする。しかし、集合の集合というようなものを表現するために、属性関係の与えられた集合という対象の全体として集合の世界を捉えたとき、このような領域 D では構造的に一階述語論理が適用できない場合が出てくるのだ。

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by tnomura9 | 2017-08-29 02:50 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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