∀xP(x) の真理集合

まず、簡単に述語論理のモデルの構成をさらってみる。

領域 D という対象の集合があり、その対象の性質を言明する A(x) という述語がある。また、対象 a と述語 A(x) の組は A(a) という命題であり、これは排中律によって必ず真か偽の値をとる。

このため、ある述語 A(x) について、領域 D の対象全てとの対をテストすることで、A(x) が真となるような領域 D の部分集合 A* を定めることができる。この A* は命題 A(x) の真理集合である。また、真理集合は必ず領域 D の部分集合であるから、真理集合は領域 D の冪集合の要素である。

原子述語 A(x) を論理結合子で結合して、A(x) ∧ B(x) のような複合述語を作ると、その真理集合は A* ∩ B* のように真理集合の集合演算の値となる。さらに、A* ∩ B* もまた、領域 D の冪集合の要素である。すなわち、領域 D は論理結合子と対応する集合演算について閉じている。したがって、領域 D に対する論理的な操作はすべて真理集合の集合演算に変換することができる。

こういうふうに考えると、論理の本質は、排中律の成立する領域 D の集合についての集合演算として捉えることができる。

しかし、述語論理には量化子という厄介なものがある。∀xP(x) というのは真か偽の値を持つ命題だが、これは対象と述語のペアではない。しかし、このような例外的な命題があると、上のようなスッキリした図式をつくることができなくなるので不便だ。そこで、形式的に ∀xP(x) の述語 Q(x) を考えてみることにした。そうすると、∀xP(x) = Q(a) のように命題を領域 D の対象と述語 Q(x) とのペアで考えることができ、Q(x) の真理集合を考えることができる。

しかし実際には ∀xP(x) の真偽値が対象との組み合わせで変ることはないので Q(x) はどのような対象との組み合わせでも常に真かまたは偽である。しかし、このことは同時に、Q(x)の真理集合が領域 D と一致するかまたは空集合であることを示している。また、∃xP(x) のような存在量化子を使った命題も、事情は同様である。

このように、存在量化子を使った命題についても形式的に述語 Q(x) を考えることで、全ての命題は対象と述語のペアで真理値が定まると考えることができる。このことで述語論理における命題とは何かということが定式化できるので、A -> (B -> A) のような命題論理の定理から、

∀x(A(x) -> (B(x) -> A(x))
∀x∀y(A(x) -> (B(y) -> A(x))
∀x(∀yA(y)(x) -> (B(x) -> ∀yA(y)(x))

などの定理を演繹できる。述語論理は述語の排中律を満たす領域 D の集合演算なのだと考えると、論理の応用範囲の広さの意味と、論理が適用できない対象 D はどんなものかというイメージが明確にできる。

何度も言うが、ラッセルのパラドックスは集合の世界 D を「所属関係を定義された対象の集合」という対象のネットワークで捉えようとしたために、領域 D が排中律を満たすことができないことを示しているだけだ。

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by tnomura9 | 2017-08-15 04:28 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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