公理図式とは何か

この記事は管理人の単なる印象なので、読むと時間を無駄にするかもしれない。

ウカシェビッチの公理系は次の3つの公理を基礎としている。

P1. A -> (B -> A)
P2. (A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))
P3. (¬B -> ¬A) -> (A -> B)

これらは実際は公理図式なので、無限の論理式を含んでいる。論理式とは原子式と論理結合子からなる記号列のことだ。この記号列は有限の長さであり、当面無限の記号列からなる論理式は考えないとする。P1, P2, P3 が独立であれば、これらは論理式の集合のうち、3つの共通部分のない部分集合を表している。そこで、一つの疑問が生じる。果たして、論理式の集合はこの3つの部分集合で類別できるかどうかということだ。

しかし、それは否定的なようだ。公理系では定理は全てトートロジーであり、明らかに論理式にはトートロジーでないものがある。

それでは、定理の集合はこの3つの公理で類別できるだろうか。それもおそらく間違いだろう。公理系の定理には、公理以外に前件肯定 modus ponens によって演繹される定理があるからだ。例えば、A -> A は証明可能な定理だが、どの公理図式にも当てはまらない。

そうなると、次なる疑問が生じる。定理の集合が部分集合で類別できる可能性はあるのだろうか。また、類別不可能ならば、どのような構造になっているのだろうかということだ。A -> A は定理であるが、これもまた無限の定理の集合を表している。その集合には3つの公理との共通部分はないのだろうか。

こういう風に考えてきた時に、気がついたことがある。公理から証明された定理もまた公理図式であるということだ。従って、これは特定の論理式を表すものではなく無限の論理式を表している。これは、合わせ鏡に映る無限の映像のように、とらえどころのない集合になってしまうのではないだろうか。

そこで、A -> A で表される無限の定理の中で、最小の定理はないのだろうかと考えてみた。最小の定理があれば、それを base case として無限の再帰に陥るのを防ぐことができる。例えば、A が命題変数ではなく具体的な命題 A0 を表していたとしたら、A0 -> A0 は A -> A で表される定理の集合の最小のものと言えるのではないだろうか。しかし、このアプローチも採用できない。A -> A はあくまでも公理図式であり、A には任意の命題を当てはめることができなければならないので、A0 -> A0 は A -> A の定理の集合の要素ではありえない。

従って、ウカシェビッチの公理から演繹される定理は全て公理図式であり、それは無限の論理式を含み、また、特定の命題を含んではいない。A -> A の最小の形態とは A -> A という記号の配列そのものであり、特定の命題ではないのだ。だが、記号の配列という観点からは A -> A はそれが表す無限の論理式の最小のものであるということができる。従って、A -> A が表す定理の集合は base case A -> A を持つので、再帰的定義は意味を持つ。

ところで、A -> (B -> A) が無限の論理式を表しているということは、それに含まれる任意の論理式の間に同値関係があるということだ。それを仮に * という記号で表すことにすると、a, b, c が A -> (B -> A) の表す集合の要素であれば、明らかに、

a * a
a * b ならば b * a
a * b かつ b * c ならば a * c

すなわち、これらの論理式の間には同値関係が存在している。そうして、この同値類は [A -> (B -> A)] で表すことができる。

同値関係があれば集合はその同値類で類別できる。従って、公理系における定理の集合は、[A -> (B -> A)], [(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))], [(¬B -> ¬A) -> (A -> B)], を始めとする同値類によって類別できるはずだ。しかしながら、このような同値類は無限に存在するような気がする。公理系から演繹される定理の集合はその成り立ちから、加算集合であるが、無限の同値類を持つ集合であるということになる。しかし、加算集合であって、無限の同値類が存在するというのは矛盾しているのではないだろうか。無限の同値類を仮定してしまうと、自然数との全単射が失われることになるのではないだろうか。

こういう風に考えてくると、公理系の定理の集合に何か怪しいものが潜んでいるのではないかというような疑いが生じてくる。論理式の集合は明らかに加算のように見えるのに、それは無限集合の同値類を無限に含んでいるという気持ちの悪い性質を持っているような気がするのだ。なぜなら、無限集合の同値類を無限に持つのは、冪集合であり、無限集合の冪集合は非加算だからだ。

この疑問は自分では解決できそうにないし、多分間違っているのだが、公理図式の集合というのが一筋縄ではいかないのではないかという不安も感じる。

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by tnomura9 | 2016-09-19 02:17 | 考えるということ | Comments(0)
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