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ラッセルのパラドックスのメカニズム

ラッセルのパラドックスの発生するメカニズムをわかりやすく説明できるようになった気がする。次のような仕組みについて考えると、ラッセルのパラドックスの発生する理由が分かりやすい。

まず第一に有限集合 A = {a1, a2, a3, ..., an} を取り上げる。次にこの集合 A に要素間の所属関係

m(x, y) : A x A -> {0, 1}

を導入する。m(x, y) は x が y を要素として含んでいれば 1 含んでいなければ 0 の値をとるものとする。m(x,y) は次のような演算表で一意的に決まる。

** a1 a2 a3 ... an
a1 1 0 0 ... 0
a2 0 1 0 ... 1
a3 1 1 0 ... 0
...
an 0 1 0 ... 1

この時各行の数列は、対応する行の要素の外延を規定する。例えば a2 = {a2, ... , an} である。集合 A には n 個の要素しかないので、この集合の要素は高々 n 個の A の部分集合しか表現できない。集合 A の部分集合は 2^n 個あるので、集合 A に所属関係を導入することによって表現できる集合は、集合 A の部分集合の一部でしかない。

ところで、m(x, y) のうち第1引数を固定した g(x) = m(a, x) は A の1引数関数である。また m(x,x) は演算表の対角線部分の値を示す。ここで、f(x) : {0, 1} -> {0, 1} という2値集合から2値集合への関数を次のように定義する。

g(x) = f(m(x,x))

この時、

f(m(a,a)) = g(a) = m(a, a)

となるので m(a,a) は f(x) の不動点となる。f が否定関数であれば、

¬ (m(a,a)) = m(a,a)

となって矛盾になる。

不動点定理による説明がわかりにくければ次のように考えても良い。A = {a1, a2, a3, a4} について要素間の所属関係が次のように定義されているとする。

** a1 a2 a3 a4
a1 1 0 0 0
a2 0 1 0 0
a3 1 1 0 0
a4 * * * *

a4 が定義されていないのはこれを

g(x) = m(a4, x) = ¬ (m(x,x))

となるように定義したいからだ。g(x) は x が自分自身を要素として含まない時に 1 含む時に 0 になるような関数である。これを、a4 をインデックスとする関数として定義したい。つまり、m(a4, x) がラッセルの集合の外延となるように定義したいということだ。g(x) = m(a4,x) は a1, a2, a3 については簡単に求められる。対角線部分を反転させればいいだけだからだ。つまり、

a4 0 0 1 *

となる。ところが * の m(a4,a4) には 1 も 0 も置くことができない。m(a4,a4) が 1 であるとすると g(x) の性質から m(a4,a4) は 0 でなければならないし、m(a4,a4) が 0 であると仮定しても同様の困難が生じる。したがって、g(x) = ¬ (m(x,x)) となるように m(a4, x) を定義することはできない。g(x) = m(a4, x) のように定義できるのは例えば、演算表の a4 行の値が、

a4 1 0 1 0

のようになる場合だ。ところが、この場合 g(x) = ¬ (m(x,x)) を満たす A の部分集合は {a3, a4} なので、自分自身を要素として含まない集合の集合は A の部分集合として存在するのに、それを表す要素が集合 A の中に取れないので不思議に思うのだ。

また、A の部分集合の中には、それを表す A の要素が見つからないものが多くある。これは A については集合として表すことができず、クラスとなる。クラスを外延とする A の要素はないので、クラスは集合の要素となることができない。ラッセルのパラドックス以外にもクラスは多数存在し、それは、A に導入された所属関係に依存している。

以上の議論をまとめると、集合の集合 A について、その要素間に所属関係という二項関係を導入すると、集合 A の要素の外延が集合 A の部分集合となるようにできる。しかし、集合 A の要素は集合 A の全ての部分集合を表すには要素の数が不足する。また、不動点定理のため、集合 A の要素の外延が自分自身を要素として含まない集合の集合というラッセルの集合となるようにはできない。これが、有限集合におけるラッセルのパラドックスのメカニズムだ。

集合 A の要素数をどんなに増やしてもこの議論は成立するので、結局、全ての集合を含む集合 A を仮定しても、ラッセルの集合を外延とする集合を集合 A の中に見つけることはできない。結局のところ、ある集合 A に要素間の所属関係を導入するという方法では、その集合の全ての部分集合は表現できない。特に自分を要素として含まない集合の集合を集合 A の中に定義するのは不可能であることがわかる。

by tnomura9 | 2016-05-24 22:33 | 考えるということ | Comments(0)
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