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実数を集合で表す

2進数で、0.1, 0.01, 0.001, ... からなる集合 X を考えるすなわち、X = {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... } だ。分数で表記すると X = {1/2, 1/4, 1/8, ... } である。

そうすると、あきらかに集合 X のべき集合 2X の要素は 0から1までの実数と1対1対応している。したがって、カントールの定理から、2X の濃度は X の濃度より大きい。 一方、X の要素は x = 1/n で自然数 {1, 2, ... } との全単射があるから、自然数の濃度と等しい。したがって、実数の濃度は自然数の濃度より大きいことがわかる。

これをみると、実数のひとつの要素は他の実数の要素と違う個体として認めることができるが、それは集合としての個体であることがわかる。

そこで、集合 X の要素は 0.1, 0.01, ... のように順番に列挙していくことができるのでこれを自然数の集合 {1, 2, 3, ... } と同一視する。すると実数の集合は X のべき集合 2X と同一視できる。したがって、自然数と実数の対応関係は前回の記事で述べたような有向グラフで表すことができることがわかる。

そのような有向グラフのうち自分自身にエッジを送らない X の要素の集合 Y を考えるとこれは X のべき集合の要素のひとつになる。すなわち1個の実数をあらわす。そうして、このような要素に対応する X の要素は見つけることができない。これが自然数と実数の全単射が作れない理由だ。つまり、自然数の集合 X から X のべき集合という実数の集合を作り出す過程で必然的に自己言及を発生してしまうのだ。

しかしながら、はっきりと自然数と対応づけることのできないと分かる実数はこの Y しかない。これは、実数の要素が集合としての個体であるということがその本質をなしているからだ。実数の要素は自然数のべき集合だから、必然的に自己言及を引き起こしてしまうためだ。しかしながら、この Y 以外の実数についてはそれに対応する自然数を見つけることができる可能性は否定できない。自然数と濃度の同じ有理数はどれだけでも稠密にしていくことができるからだ。

自然数と実数の濃度の違いと言ってもこのように自己言及による高々1点に過ぎないのではないだろうか。
by tnomura9 | 2014-12-21 20:59 | 考えるということ | Comments(0)
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