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群と自由群

群とは一口に言うと。集合 G と二項演算 * の組 (G, *) のことだ。ただし、2項演算は結合法則を満たしており、単位元と逆元が存在するという3つの条件が成立している必要がある。

整数の集合 G = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } と整数の加法 + の組は群となる。加法 + は次の例のように結合法則を満たしており、

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

単位元 0 があり、

3 + 0 = 0 + 3 = 3

整数の要素の全てに逆元が存在する。

3 + (-3) = (-3) + 3 = 0

群は作用の集合だとか、2項演算は一般に非可換であるとか、面倒くさい話はここではなしにする。とにかく群とは集合と演算と結合法則と単位元と逆元でできているという事だけに注目する。

ただ、ひとつだけ取り上げておきたいのは、群の条件から逆元を取り除いた代数的構造がモノイドだということだ。また、モノイドに逆元が存在していればそれは群になる。

モノイドのなかには、自由モノイドというものがある。どいういうものかというと、文字の集合 X = {a, b, c} の文字を並べて文字列の集合 A = {'', a, b, c, ab, ac, bc, abc, ... } をつくり、文字列の連結 . という二項演算を導入するのだ。このとき、集合 A と二項演算 . の組 (A, . ) は自由モノイドになる。つまり、. はつぎのように結合法則を満たし、

(ab . bc) . cd = ab . (bc . cd) = abbccd

空文字 '' という単位元を持つ。

a . '' = '' . a = a

群ではないので逆元はない。

この自由モノイドに逆元を導入したのが自由群である。どうやるかというと、文字 a, b, c に逆元を作るために新しい文字 a-1, b-1, c-1 を導入する。これらは対応する a, b, c との連結をつくると単位元である空文字 '' になると定義する。すなわち、

a . a-1 = a-1 . a = ''
b . b-1 = b-1 . b = ''
c . c-1 = c-1 . c = ''

そこで、これらを含む文字集合 {a, b, c, a-1, b-1, c-1} の文字を並べて作った文字列 abc, bc-1a などの文字列を集めた集合 B を考えると (B, . ) の組はモノイドになる。しかし、これだけでは自由モノイドに逆元を導入できない。任意の文字列に対しその逆元を連結したときに単位元にならなければならないからだ。

そこで、文字列の中に aa-1 のように文字とその逆元が隣接している場合にはこれは '' で置き換える事ができるというルールを導入する。つまり、

baa-1c = bc

である。このような aa-1 を '' で置き換える事を簡約という。次の例のように簡約できる箇所が複数あるときは次々に簡約していく事ができる。

abb-1bc-1cc = abc-1cc = abc

左端の文字列はこれ以上は簡約できないので規約であるという。こういう簡約で最終的に同じ規約の文字列になる文字列の集合をまとめるのは便利だ。これを [abc] のように表記する。 abc はこの同値類の代表元である。この同値類の集合にも連結演算子 . を適用することができる。つまり、

[ab] . [cb] = [abcb]

である。また、空文字 '' の同値類を [] で表す事にするとこれは次のように単位元になる。

[abc] . [] = [] . [abc] = [abc]

さて、逆元だが、任意の文字列の順序を逆にし文字をその逆元と入れ替えたものを . 演算子で結合すると、上に述べた簡約を繰り返すことで、単位元である '' 文字になる。したがって、つぎのように、任意の文字列に逆元を作ることができる。

ac-1ba . a-1b-1ca-1 = ''

したがって、同値類で表現した逆元は次のようになる。

[ab-1c] . [c-1ba-1] = []

このようにして作られた群を文字集合 X 上の自由群といい F(X) と書く。

文字集合から群を作る手順が少々面倒だが、こうして作られた自由群には自由群の普遍性という特徴がある。つまり任意の群 G に対し g : F(X) -> G という準同型写像があるとき、g の X への制限写像について、任意の f : X -> G というXから群Gの台集合 G への関数について、任意の a ∈ X について g(a) = f(a) となるものがただひとつ存在するというものだ。

しかし、Wikipedia にはその証明は記述されていなかった。群論の教科書を読む必要があるらしい。

Wikipedia の随伴関手の記事によると集合の圏をその生成する自由群の圏に対応させる関手 F と群の圏を群の台集合の圏に対応させる関手 G は随伴の例であると書いてあった。以下がその引用だ。

自由群の構成は極めて普通の随伴による構成であり、上記の詳細の分かりやすくて便利な例である。
関手F : Grp ← Setは各集合YにYの要素の生成する自由群を対応させるものとし、関手G : Grp → Setは群Xにその台集合を対応させる忘却関手とする。以下に示すようにFはGの左随伴となる。

これで、自由群を理解すれば圏論の随伴が分かるのが分かった。群論の学習か ... 。

参考リンク

自由群 - Wikipedia
自由群の定義
by tnomura9 | 2014-08-24 22:25 | 圏論 | Comments(0)
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