tnomuraのブログ

命題論理の自然演繹

命題論理を学ぶとき、要素命題の真理値から複合命題の真理値を計算する真理表を作るのは理解しやすい。しかし、自然演繹の推論規則をつかって命題の証明をするのは理解するのが難しい。これは推論規則の -> 導入や -> 除去などの推論規則の意味が分かりづらいのと、仮定が抜け落ちるという概念が理解しがたいからだ。そこで、これらの概念を真理表を利用してイメージできないか考えてみた。

まず、推論規則の -> 除去を考えてみる。これは推論図では次のように表現される。

A A->B

----------

B

これは A と A->B の真理値がどちらも T であれば、命題 B の真理値も T であることを示している。これは含意 -> の次のような真理表から簡単にわかる。

A | B | A->B

T | T | T

T | F | F

F | T | T

F | F | T

上の真理表では A と A->B がともに T の場合は B の真理値は T しか取り得ないからだ。-> の除去規則は前件肯定を表している。

それでは -> の導入規則はどうだろうか。これは次のような推論図になる。

B

-----------

A -> B

これは後件 B の真理値が T であれば、任意の命題 A について含意 A -> B の真理値が T となることを示している。これは、含意の真理表を見ることで妥当な推論であることが分かる。なぜなら、後件 B の真理値が T の場合、前件 A の真理値が T の場合は当然 A->B の真理値は T であるし、前件 A の真理値が F の場合は後件 B の真理値のいかんにかかわらず、含意 A -> B の真理値は T となるからだ。

このように論理記号についての推論における導入規則、除去規則の正当性は真理表で確認することができる。

最後に「仮定が抜け落ちる」という用語の意味について考えてみる。

そこで A->B と B->C という二つの含意の真理値が T のときの新しい含意 A->C の真理値について考えてみる。まずこの３つの含意についてはつぎのような真理表を作ることができる。

A | B | C | A->B | B->C | A->C

T | T | T | T | T | T

T | T | F | T | F | F

T | F | T | F | T | T

T | F | F | F | T | T

F | T | T | T | T | T

F | T | F | T | F | T

F | F | T | T | T | T

F | F | F | T | T | T

この真理値表で A->B と B->C の真理値がともに T である行は4か所あるが全て A->C の真理値が T であることが分かる。したがって、この推論は正しいが、推論図を使った証明はひと工夫がいる。

まず、含意 A->B について、前件 A の真理値が T の場合を考える。この時前件肯定の推論から B の真理値は T である。前件 A が偽の場合は、含意 A->B の場合は B の真理値が T でも F でも A->B は真であるから、B の真理値は不定である。

A(仮定） A->B

-----------------

B

次に A の真理値が T であるというこの仮定の下で B と B->C から何が推論できるかを考えると、明らかに C の真理値は T である。

B B->C

-----------

C

A の真理値が T であるという仮定から C の真理値は T であると推論できたので、C の真理値が T である場合に -> の導入規則から A -> C が推論される。

C

---------

A->C

結論である A->C の前件の A には A の真理値が T の場合と F の場合が含まれている。A が T の場合には、C の真理値が T であるという結論は A の真理値が T であるという仮定から推論されたのだから、含意 A->C の真理値は当然 T である。一方 A の真理値が F の場合は含意の真理表から C の真理値が T であろうと F であろうと含意 A->C の真理値は T になる。

したがって、A->C の結論を得るのに A の真理値が T であるという仮定は不要であることが分かる。C の真理値が T であることを推論するのに A の真理値が T であるという仮定を用いたが、最終的な結論 A->C においては A が真であるという制約が必要なかったことが分かる。したがって、一連の推論についてA の真理値が T であるという仮定は「抜け落ちる」ことがわかる。したがってこの推論の前提は A->B の真理値が T かつ B->C の真理値が T であり、結論は A->C の真理値が T であるということになる。これを推論図で表すと次のようになる。

A->B B->C

--------------

A->C

また、仮定 A が抜け落ちる理由を上の真理表からも考えてみる。上に記した真理表から A->B と B->C の真理値がともに T になる条件下では A の真理値が T のときは C の真理値も必ず T になる。また、この場合結論の A->C は T となる。

それでは A の真理値が F の時はどうだろうか。この場合は C の真理値が T であっても F であっても、A->C の真理値は T となる。この場合、A->B, A-C の真理値の取り方は A->C の真理値が T であるという結論に影響しない。当然、A->B, A->C の真理値がともに T であるという条件下でも A の真理値が F であるときは A->C の真理値は T である。

結局 A の真理値が T でも F でも、結論である A->C の真理値は T となるから、命題 A が真であるという仮定は必要ないことになる。したがって、A->B B->C ならば A->C であることが証明できる。

こう考えると、仮定 A が抜け落ちるという表現よりも、「A の真理値が T と仮定すると C の真理値は T であるから、A->C の真理値は T である。また、A の真理値が F であると仮定すると A->C の真理値は T である。よって A の真理値が T の場合も F の場合も A->C の真理値は T となるから、A の真理値に対する何の仮定も必要ない。」という論証の方が事情がよくわかる気がする。

自然演繹の証明は、推論規則を用いて論理式を変形していく手続きだ。これは、要素命題に真理値を当てはめて複合命題の真理値を調べる真理表の方法とは概念が異なっている。しかし、自然演繹では変形規則が多く、仮定が落ちるなどの概念も理解しずらいため難しく感じてしまうが、その手続きの意味を理解するために真理表を活用することができる。

前件肯定 modus ponens

「A 並びに A -> B が真なら、Bは真である」という前件肯定は命題論理の推論の基礎になっている。しかし、この推論の正当性はどうすればわかるのだろうか。

命題論理で A や B で原子命題を表すとき、A や B の真理値が真であるか偽であるかは不定だ。これらは命題変数であり、その真理値は真の可能性も偽の可能性もある。したがって次の含意の真理表のように A と B の真理値のあらゆる組み合わせについて含意の真理値が決まる。

A B A-> B

T T T

T F F

F T T

F F T

Aの真理値とBの真理値の組み合わせは、Aの真理値とBの真理値の間に暗黙の関連がない場合、すなわち、命題Aと命題Bが互いに独立な場合は ２＾２= 4 なので、上の真理表はAとBの真理値のあらゆる組み合わせを尽くしている。つまり、含意 A->B の取りえる真理値の全ての可能性を尽くしていることになる。

真理表の以上のような性質を考えると、「A並びにA->Bが真なら、Bは真である」という前件肯定の正当性を真理表から読み取ることができる。AとA->Bがともに真となるのは真理表では、A = T, A->B =T, B = T の場合のみであり、Bが真であるという推論は正当である。

このように命題論理の推論の正当性は、原子命題の真理値の全てを組み合わせた真理表から保証される。命題論理の本質は、すべての起こりえる場合を考えつくすということだ。

論理演算の規則の下で「A と A-> B が真であれば B は真である」という前件肯定が保証されれば、A と A -> B がトートロジーであれば、B は常に真すなわち B もまたトートロジーであることが保証される。すなわち原子命題のどのような真理値の組み合わせにおいても命題 B は真となるからだ。そうして、この方法で無限にトートロジーを作り出していくことができる。

しかし、このようにして体系的にトートロジーを作っていくということが論理的推論なのかどうかというと、少々違和感がある。確かに (A ∧ (A -> B)) -> B はトートロジーだが、これが「A並びにA->Bが真なら、Bは真である」という前件肯定と同じ意味だとは考えにくい。上の論理式がトートロジーであるというのは、命題 A や B に含まれる要素命題のどのような真理値の組み合わせに対しても、その論理式の真理値が真であるということを意味しているが。A や B の要素命題のどのような真理値に対して論理式の真理値が真であることを知りたいわけではなく、A と A->B が真であるという条件の下で B が真であるかどうかを知りたいのだからだ。

命題論理の推論について勉強するときの違和感というのは、そういうところにあるのではないだろうか。

多部未華子

映画「怪しい彼女」の挿入歌

悲しくてやりきれない

発声が素人っぽいのが逆に悲しさの感情を浮き立たせている。涙だけが流れるかたい表情もたいしたものだ。

究極の学習法

究極の学習法を思いついた。

その方法とは、参考書を読みながら読んでいる部分の最重要のキーワードを紙に書くという方法だ。

紙はA4のコビー用紙のコピーに失敗したものを半分に切りその裏側を使う。参考書のページを読みながら、そのページで最重要と思われるキーワードを転記する。書き留めるキーワードの数は参考書の1ページに1個くらいがいい。あまりに多いと参考書を読み進められないし、疲れてしまう。また、キーワードを書き溜めた紙がキーワードで一杯になったら躊躇わず捨ててしまう。

キーワードを書き留めるのは、注意をそのキーワードに留めるためで、記録するためではないからだ。

こうすると、不思議に参考書を読み続けることができる。大脳生理学的な理由は知らないが、経験的なものだ。

やってみると分かるが、キーワードを書き写すときはちょっと読書スピードが落ちる。この際にキーワードに関連することをいろいろ考えることができるようだ。分厚い参考書を読むときは読むスピードだけに注意がいってしまうが、ちょっと速度を落として考える時間をとることも大切なことだ。

「学びて思わざれば...」の故事を引用するまでもなく、情報の入力と思考とは車の両輪のようなもので、どちらも欠くことはできない。

上白石萌音

あなた

The Favorite Songs Vol. 1 「奏」

なんでもないや上白石萌音カバー

SHOW-YA

紅

限界Lovers

HOWEVER

パワフルな金髪のお姉さん。

シーナ ＆ ザ・ロケッツ

You may dream

星屑スキャット

REMEMBER THE NIGHT

半蔵門シェリ

新宿シャンソン

居心地の悪さも感じるが、プロフェッショナリズムが心地よい。格好いい。

高畑充希

「デイ・ドリーム・ビリーバー」

感心した。「ひるね姫」も視聴してしまった。

歌うCM女王！

土岐麻子

「ロマンチック」

「セ・ラ・ビ」

「STRIPE」

「シーズン・イン・ザ・サン」

「夢で逢えたら」

「君に胸キュン」

「乱反射ガール」