Russell's Paradox

1. Russell's Paradox

The paradox of Russell is a paradox about naive set theory discovered by UK philosopher and mathematician Bertrand Russell. that is,

"The set of all sets that are not members of themselves can neither be a member of itself nor be not."

Consider this set as R, if R does not contain itself, R must be a member of R as R is "a set that is not a member of itself". On the other hand, if R contains R as an element, this must satisfy the intensional definition "a set that is not a member of itself", so R must not contain R as an element. In either case a paradox will occur.

Since sets should be divided into either sets that contain themselves or sets that do not contain themselves, if a paradox occurs in one of them, the method of defining a set with an intensional definition can not be used. Furthermore, since most of the sets seems not to contain themselves, the occurrence of a paradox in the collection of them will shake the foundation of set theory.

By definition that "a set" is considered as "an object" of collections of objects. And according to the comprehension axiom, a set can be defined by collecting objects that satisfy the predicate. But, the unmistakable paradox is hidden under these definition. You can imagine the hurdles of logic scholars and mathematicians. Even so, what is the secret mechanism of the paradox?

2. Mechanism of Russell's paradox

Let's see what mechanism causes Russell's paradox.

Russell's set is "a collection of all the sets that do not contain themselves". But before collect all of such sets, let's consider collect a suitable number of "sets that do not contain themselves" rather than all, and name the set R ' . For example, "the collection of dogs" is not a member of the collection of dogs, therefore, "the set of dogs" is "a set that does not contain itself". You can easily compose R' with those sets like "a set of dogs" if you do not consider collection of all of them.

And then, let us consider whether R ' itself is contained R'. From the intensional definition it is clear that R ' is not a member of R'. This is because if R' is contained in R' as an element, R' as an element becomes a set that contains itself. Therefore, R' never contains R' itself. However, for that matter, R' satisfies the predicate "a set that does not contain itself".

In the case of such a set, however, it is not a problem because the intensional definition is a collection of "suitable number of the sets which do not contain themselves". This set can exist stably. However, no matter what kind of R' is made, R' satisfies the predicate "a set that does not contain itself" in spite of R' does not contain R'. Therefore, we can not make the set that collects ALL the sets that do not contain themselves such as Russell's set. That means Russell's set cannot exist as "a set". Such collection should be thought as "a class".

In Russell's paradox it happened because such a collection was thought as a set. From that point of view, it is not permissible to have a collection that collects sets that do not contain themselves and not a member of itself at the same time. However, paradoxes will not occur if such a collection is classified as a class and distinguished from a set.

The point is, considering a set as an object is the essential cause of paradox. If you think about a set is an object, collection of objects it denotes must be distinguished from itself. In Saussure's semiotics, the sign is the inseparable combination of the signifier and the signified, and a set itself is apparently a signifier and its extension is a signified. From this point of view, you can easily imagine what is a set that contain itself and what is a set that does not contain itself. Both case can be occur in that model, although, any set which collect the sets that does not contain themselves never be a member of itself.


前回の記事で Google 翻訳で英作文したのが面白かったのでもう1回やってみた。元の原稿は過去記事の「ラッセルのパラドックスの謎が解けた」から取ったが、最後の結論の部分は Google 翻訳に対話的に日本語の文章を入力しながら作成した。その際、意味のある英文が出てくるまで日本語の文章の方を修正した。日本語の文章を短い明確な表現に変えると、翻訳された文章も英文らしい表現になっていくのが面白かった。

アイディアを英文でアップすれば、海外の人も読んでくれるかもしれない。機械翻訳が発展すれば、そんな夢のような時代がやってくるのだろう。

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# by tnomura9 | 2016-12-09 02:16 | 考えるということ | Comments(0)

Semiotic set theory

Semiotic set theory

I think that it is easy to understand by handling the set semantically, because the intricacies of Russell's paradox in simple set theory seems to be easy to understand.

Semiotics is the concept of linguistics initiated by Saussure. The fundamental way of thinking is to consider the symbol as signifi- cant expression (signifiant) and symbolic content (sinifie) inseparably linked.

For example, the word "snow" is composed of the symbol "snow" and white crystals descending from the sky it points to. The term "snow" (symbol) is considered to be inseparably associated with the symbol itself (symbolic expression) and snow or concept (symbolic content) indicated by the symbol.

As the definition of a set in simple set theory is "a set is a collection of things", we can look at it as a semiotic point in the same way as the "snow". For the set A, the sign "set A" is consisted of the sign "A" itself as a symbolic expression and the group of things that set A is pointing to, that is, {a 1, a 2, ..., ak} as a symbolic content.

By considering a set as a semiotic symbol in this way it is possible to think separately from a set (symbolic expression) as a thing and a set (symbolic content) as a group of things that it points to.

Now, to simplify the discussion here, let's consider a collection {a 0, a 1, a 2, ..., an} consisting only of a set (symbolic expression). Then assume that each set points to the collection {ai, aj, ..., ak} of one of those sets (symbol contents).

In order to describe which element of this collection of sets (symbolic representation) points to which subset of the collection, we can create a n x n in table of the elements. In that table, the elements a 0, a 1, ..., an are arranged horizontally and vertically. Then In the row of the vertically aligned elements 1 is put when the element (set) contains an element corresponding to the horrizontally arranged a 0, a 1, a 2, ..., and 0 if not included as an element, at the intersection of the row and column of the table. In other words, the columns of 1 and 0 in the ai row indicate which kind of elements the set ai (symbolic representation) consists of (symbol contents).

** a 0, a 1, a 2, ..., an
a0 0, 1, 0, ..., 1
a1 1, 1, 0, ..., 0
a3 0, 0, 1, ..., 1
....

an 0, 0, 1, ..., 1

In this way, the correspondence relationship between the set ai (symbolic representation) and the group of elements (symbol contents) represented by the set ai can be described as a row of 1 and 0 in line ai. In other words, whether set ai contains set ak as an element can be determined by whether or not the number of ak columns in line ai is 1.

After that, examine the diagonal part of this table. 1 or 0 described there indicates whether the set contains itself as an element or not. For example, if the value of ai row ai column is 1, set ai includes itself as an element, and if the value of ak row ak column is 0, set ak does not include itself as an element.

Therefore, if you collect the sets ak, ..., am whose diagonal values ​​are 0, you can create sets of sets that do not contain itself as an element. Let's call it ar (symbolic expression) for borrowing. What happens to the line of 1 and 0 of the ar row corresponding to the set {ak, ..., am} represented by ar (symbolic representation)? Clearly it turns out that if the diagonal value of the table is 0, it is 1 and if 1 is 0.

Well, what matches the sequence of this ar line is in a 0, ..., an rows in the table? Obviously it is impossible. Because the sequence of ar rows is the inverted value of the diagonal, so it is different for every diagonal part of any ai.

Therefore, even though there is a group of sets that do not contain themselves as elements in the set {a 0, ..., an}, the symbolic expression of it can not exist in the table which describes the correspondence of the sets and its contents.

For this reason, despite the fact that there is a group of sets that do not make themselves an element, a set ar whose symbolic content is a symbol can not be found in a 0, ..., an. In other words, there can not be a symbolic expression named set ar with those gatherings as symbolic contents. If you are going to instruct such a gathering, it should be called a class, not a set. In Russell's paradox, the paradox was deduced because we thought of a set that do not exist like this as a set.

In this way, by considering a set semiotically as a symbol composed of symbolic representations (signifiers) and symbolic contents (signifiers), it is important to clarify the reasons for classes such as those found in Russell's paradox it can.

From the above discussion, the set of Russell's "set of sets that do not contain itself as an element" can not be a set in any case, and that group will become a class, but the classes includes Russell's class are not there anything else? The answer is understood by thinking as follows.

Obviously, there are actually 2 ^ n collections whose elements are set a 0, a 1, ... an as a symbolic representation. However, there are only n sets that can be considered as symbolic expressions. All other gatherings can not be represented as a set, and they all become classes. The difference between the number of sets and the number of classes increases as the set of symbolic expressions increases. There will be far more classes at any point, even if you set the set as a symbolic expression infinitely large.

In this way, it is easier to understand the origin of the Russell's paradox and the existence of the class by grasping the set semiotically, that is, consider a set as a composition of a symbolic expression and the extension as its symbolic contents.

いきなり英文の記事で不審に思われたかもしれないが、過去記事の「記号論的集合論」を Google 翻訳にかけてみただけだ。明らかに変なところは手直ししてみたが Japanish になってしまったかもしれない。

シニフィエとかシニフィアンなども翻訳されているのに驚いた。ざっと読んだが英文らしくみえるし、知らない単語もたくさんある。おそらく変な英文なのだろうが、そのレベルでも管理人に書けと言われても書けない。

英文で論文やマニュアルを書いたり、単に英作文の勉強をするのにも Google 翻訳は便利なのではないだろうか。人工知能には期待できそうだ。

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# by tnomura9 | 2016-12-05 03:25 | 考えるということ | Comments(0)

Googld 翻訳の実力

Neural Networks and Deep Learning

の扉の文章を Google 翻訳で訳してみた。

Neural Networks and Deep Learning is a free online book. The book will teach you about:

Neural networks, a beautiful biologically-inspired programming paradigm which enables a computer to learn from observational data
Deep learning, a powerful set of techniques for learning in neural networks

Neural networks and deep learning currently provide the best solutions to many problems in image recognition, speech recognition, and natural language processing. This book will teach you many of the core concepts behind neural networks and deep learning.

For more details about the approach taken in the book, see here. Or you can jump directly to Chapter 1 and get started.

ニューラルネットワークとディープラーニングは無料のオンラインブックです。 この本は次のことをあなたに教えるでしょう:

ニューラルネットワークについて。それは、コンピュータが観測データから学習することを可能にする、美しい、生物学にインスパイアされた、プログラミングパラダイムです。
深層学習について。それは、ニューラルネットワークの学習のための強力な技術セットです。

ニューラルネットワークと深層学習は、現在、画像認識、音声認識、および自然言語処理における多くの問題に対する最良の解決策を提供しています。 この本は、ニューラルネットワークと深層学習の背後にある多くの核心概念を教えてくれるでしょう。

本書で取り上げているアプローチの詳細については、こちらを参照してください。 あるいは、第1章に直接ジャンプして開始することもできます。


訳文には少し手を入れたが、一から訳すよりは随分と手間が省ける。人工知能による機械翻訳にはかなり期待している。

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# by tnomura9 | 2016-12-03 14:13 | 考えるということ | Comments(0)

Newral networks and deep learning

Michael Nielsen 氏の 2016 年のネットブック

Neural networks and deep learning

ニューラルネットワークと深層学習の教科書らしい。

後で読む。

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# by tnomura9 | 2016-12-02 19:36 | 考えるということ | Comments(0)

elllo

elllo はフリーの英語のリスニング・レッスンサイトだ。サイトの案内の文章をグーグル翻訳で翻訳してみた。

What is ELLLO?
ELLLO! Welcome to English Language Listening Library Online. My name is Todd Beuckens and I am an ESL teacher in Japan. I created ELLLO to help students (and teachers) get free listening lessons online. I post two new lessons each week. Get free lessons and updates via email here .

エルロとは何ですか?
エルロ! オンライン英会話リスニングライブラリーへようこそ。 私の名前はTodd Beuckensで、私は日本のESL教師です。 私はELLLOを生徒と教師が無料のリスニングレッスンをオンラインで手助けできるように作成しました。 私は毎週2つの新しいレッスンを投稿します。 無料のレッスンや最新情報をEメールで入手してください。

意味は読み取れるけど、もう一歩かな。

ディープラーニングの特徴はニューラル・ネットワークに教師信号なしで特徴検出層を形成することだ。この特徴検出層を形成するために膨大な回数の学習を必要とするが、それをビッグデータとマシンのパワーで実現している。この特徴検出層によって非線形の判別関数を実現できたのだが、この特徴検出層を自動的に形成できるようになったのがミソだ。

深層学習は人間の脳をモデルに開発されたのだが、逆に深層学習の振る舞いから人間の学習について別の観点で見ることができる。人間の脳でも特徴検出層の形成が行われているのではないかということだ。

つまり、英語の音素の識別は英単語の意味の学習とは別に無意識に行われているのではないだろうか。そうして、英語の音素の特徴検出層の形成は、英会話の内容の意味がわからなくてもひたすらリスニングを繰り返すことで無意識に行われているのではないか。

英会話の訓練では意味よりも、まず生の英語をひたすら口真似するシャドウイングで、英語の音素の特徴検出層を形成してから、英語の学習を始めるべきではないのだろうか。そのほうがその後の上達が早くなるのではないかという気がする。ただし、深層学習からのアナロジーで考えると、特徴検出層を形成するまでにはかなりの練習時間が必要になるだろう。

追記

TED もおすすめだ。

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# by tnomura9 | 2016-12-02 00:35 | 考えるということ | Comments(0)

技術的特異点

人工知能の解説ビデオをみていたらシンギュラリティという言葉が頻繁に出てきたので調べてみた。技術的特異点 (Singularity) というらしい。人間が人間の知性を超える AI を生み出した時点で AI が更に優れた AI を作りはじめ、人間が到達できない超知性が生まれるというものだ。

人間が到達できない超知性というのが何なのか分からないが、たとえば、管理人には量子力学がどういうものなのか全くわからない。理解できるようになるためには専門的なトレーニングと多大な労力と時間が必要になりそうなので取り組む気も起きないが、しかし、これを理解して研究している人々は存在している。ところが、人工知能が進化したら、人工知能が言っていることを理解できる人間が一人もいなくなるのだろう。

人工知能は様々な技術革新を人間に提供してくれ、人間はそれを享受するが、その仕組を理解できる人間が誰もいないということになる。人間は技術に取り残され退化への道を歩み始めるのだろうか。

SF じみて怖い話だが、人工知能をよく知る人達の間で真面目に議論されているらしい。

人工知能で驚異的なのはその学習速度だ。Google の AlphaGo は開発が始まったのが 2014 年で、2016 年 3 月には囲碁の世界チャンピオンを破っている。人間のそれも選ばれた資質の棋士が半生をかけて集中して学習して得た知識のレベルに達するのに2年しかかかってない。

それは囲碁というゲームだからできたことだと考えるかもしれないが、チェスで人間に勝利した IBM のディープブルーは汎用人工知能のワトソンに発展し、人間の医師で解決できなかった血液疾患の診断と治療を提案し、治療を成功させるところまで行っている。2016年にして人類は自分たちより学習能力の優れた人工知能と共存することを学び始めなくてはならなくなっているのだ。

人間が学習して知識を得ることの意味に質的な変化が起きようとしている。

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# by tnomura9 | 2016-11-27 23:11 | 考えるということ | Comments(0)

汎用人工知能 H

日立が汎用人工知能を開発したそうだ。次のリンクから解説ビデオを見ることができる。


特徴は既存のシステムと接続することで課題を与えると最適解を発見してくれるところだ。物流システムの倉庫管理では従来のピッキング作業効率を8%アップしたそうだ。人間の専門家が工夫して効率化されていたはずのシステムを人工知能がさらに効率化してしまったことになる。

その上、汎用型なので既存のどんなシステムにも適用できる。いろいろな分野への人工知能の導入が専門家でなくてもかんたんに出来るようになる。経済へのインパクトは相当大きなものになるだろう。

別に日立の宣伝をしているわけではなくて他社でも似たような汎用人工知能を提供してくるだろう。ディープラーニングの仕組みは意外に単純だからだ。それがすごいことをしているように見えるのは、扱える情報量と計算速度が格段に速いせいだ。

人工知能は既に実用化の段階に入っているようだ。それも、とてつもない速さで浸透していくのではないだろうか。人工知能専用のチップが出現して、人工知能が小さくなり、速度が増し、誰にでも手の届く価格になったとき人間の雇用にどのような激変が起きて来るだろうと思うと少々不安になる。

おそらく産業革命や、パソコンの発達のときのように、消える職業と現れる職業の入れ替わりが急速に起きるのだろう。人間の雇用の形態の変化に対する混乱と痛みに対して制度的に対応する研究の必要があるのではないだろうか。人工知能の生産性に対するインパクトを考えても、人工知能の発達を止めることはできないだろうと思われるからだ。

しかし、人工知能が発達すれば単純に考えても生産性の向上による雇用への需要の低下で、所得の格差は更に開いていく可能性がある。それと逆相関で治安のコストが上がっていくだろう。

ところが、アルゼンチンでは、政府の政策によって食料や医療や教育に対する国民の負担が低いため、国全体の経済が良くないにも関わらず治安がよく生活の満足度が高いそうだ。結果的に治安のコストは低いだろう。対照的なのが中国で、世界第2位のGDPを誇りながら、治安維持の費用のほうが軍隊の費用より大きいという。

人工知能の発達による生産性の向上を織り込んで、社会の安定と国民の生活の満足度を社会のインフラストラクチャーと考えた所得の再配分や雇用問題について積極的に取り組む必要があるのではないだろうか。

国民の大半が文字が読めて携帯電話を使いこなしているというのは、大変な資源が眠っているということだ。今の社会制度ではそれが十分に生かされていない気がする。

追記



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# by tnomura9 | 2016-11-27 01:38 | 考えるということ | Comments(0)

決済用電子マネー

新聞などを見ていると、為替の変動で生産者の企業の収益が大赤字になったりして大変だなと思ったりする。新聞記事では円高だ、円安だと大騒ぎするが、円高のときはドル安で、円安のときはドル高になっているようだ。それならいっその事日本と米国の企業間では決済を円とドル半々で決済すればいいのにと思う。

銀行が電子マネーを発行するが、その実マネーとの交換レートを円とドルのペアに対して固定する。そうすれば円とドルの為替レートの変動を吸収できるのではないだろうか。円とドルの比率を半々にしておけば銀行は為替変動のリスクを取らないで済むし手数料を得ることができる。企業の方も売上から為替変動のリスクを取り除くことができる。

電子マネーの換金が必要なければ、それは一種の通貨として通用する。また、円とドルへの換金はいつでもできるし、円だけ、ドルだけが必要な時はそれらを交換すればいい。ある種の金本位制の通貨のような使い方ができる。

上手い仕組みだと思うのだが、現実はそう甘くないのだろう。

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# by tnomura9 | 2016-11-25 08:21 | 考えるということ | Comments(0)

情報収集のあれこれ

AI を活用しようと思ったら、ネットの情報を自動で収集する方法を知らないといけないと思った。情報収集を自動でできたら、AI が勝手に情報を集めてくれて、勝手にデータベースを構築してくれる。また、情報を電子化しないと AI に活用できない。

そこで、ネット情報の自動収集を解説したリンクをこのページに集めることにする。ブックマークするよりも手前がかかるが、テーマ別にまとめたりコメントを入れたりするのにはこっちのほうが便利だ。

ネット情報の自動収集に関する記事のまとめ




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# by tnomura9 | 2016-11-24 04:11 | 考えるということ | Comments(0)

オープンソースの AI ライブラリ

AI の威力を少し脅威に感じたのでオープンソースで使えるものがないかどうかを探したら、Google の TensorFloor と Preffered Networks 社の Chainer をインストールして動作チェックまでやった記事を見つけた。


どちらも、C++ か Python で動かすらしい。管理人は残念ながらどちらも使えない。Pytnon でも勉強してみようかな。

この記事を書いているときに池上彰の番組で AI の取材映像を放送していたが、学習速度が驚異的で、学習の成果を他のロボットに移植できて、さらに、24時間疲れ知らずに働き、文句も言わない。どの点をとっても人間はかなわない。

AI 時代の生き残りについて真剣に考える必要がある。

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# by tnomura9 | 2016-11-23 22:23 | 考えるということ | Comments(0)