公理系と真理表

公理系と真理表の関係が思ったより直接的だったので対照させてみた。含意 A -> B の真理表は次のようになる。

A | B | A -> B
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

これに対応する LP 公理系の証明は次のようになる。個々の証明については前回の記事で紹介した。

A, B |- A -> B
A, ~B |- ~(A -> B)
~A, B |- A -> B
~A, ~B |- A -> B

仮定が A, ~B のときは結論が ~(A -> B) と否定形になっているところも、真理表に対応しているのが分かる。命題論理の完全性定理から当然なのだろうけれど、真理表が公理系で表現できるというのが不思議に思える。実はこの公理系の真理表で A が真値を持つかどうかは証明には関係ない。公理系の推論は命題の真偽ではなく、命題の記号の配列を推論の規則によって置き換えていくだけだからだ。したがって、A, B |- A -> B の証明で A の真理値が偽であったとしてもその証明は正当なものである。

ところで、この公理系の真理表について、仮定が ~A, B と ~A, ~B の場合を考えてみるが、演繹定理を使って次のように変形してみる。

~A |- B -> (A -> B)
~A |- ~B -> (A -> B)

これに命題論理の定理 (A -> B) -> ((~A -> B) -> B) を適用すると、

~A |- A -> B
~A |- A -> B

となって、仮定が ~A のときは仮定 B はなくても良くなり、抜け落ちることが分かる。A -> (B -> A) のように論理式がトートロジーの場合はどうなるだろうか。A -> (B -> A) の公理系での真理表はつぎのようになる。

A, B |- A -> (B -> A)
A, ~B |- A -> (B -> A)
~A, B |- A -> (B -> A)
~A, ~B |- A -> (B -> A)

A -> (B -> A) は公理だから別に証明をしなくても上の証明は成立する。このとき A -> B で述べた定理を使うと、

A |- B -> (A -> (B -> A))
~A |- ~B -> (A -> (B -> A))

から仮定 B が抜け落ちて、

A |- A -> (B -> A)
~A |- A -> (B -> A)

となり、さらに、

|- A -> (A -> (B -> A))
|- ~A -> (A -> (B -> A))

から、仮定 A も抜け落ちて、

|- A -> (B -> A)

となり結局のところトートロジーは仮定なしの公理系から証明可能である事が分かる。

この命題論理の完全性定理で重要な働きをするのが、

|- (A -> B) -> ((~A -> B) -> B)

という定理だが、つぎのように証明できる。

A -> B, ~A -> B |- A -> B
A -> B, ~A -> B |- (A -> B) -> (~B -> ~A)
A -> B, ~A -> B |- ~B -> ~A
A -> B, ~A -> B |- ~A -> B
A -> B, ~A -> B |- ~B -> B
A -> B, ~A -> B |- (~B -> (~B -> ~(~B -> B))) -> (~B -> ~(~B -> B))
A -> B, ~A -> B |- ~B -> (~B -> ~(~B -> B))
A -> B, ~A -> B |- ~B -> ~(~B -> B)
A -> B, ~A -> B |- (~B -> B) -> B
A -> B, ~A -> B |- B
A -> B, |- (~A -> B) -> B
|- (A -> B) -> ((~A -> B) -> B)

トートロジーは真理表で要素命題に真理値を割り当てた時の論理式の真理値だし、LP 公理系の証明は、公理と推論規則 modes ponens から演繹された論理式だが、両者は意外に対応関係がつけやすいことが分かる。

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# by tnomura9 | 2017-09-16 00:52 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

原子命題と論理式

命題論理ではそれ以上分解できない最も簡単な命題を原子命題といい A, B, C, ... で表す。一方 A -> B のように原子命題を命題結合子で結合した複合命題を論理式と呼ぶ。前回は任意の論理式、たとえば、A -> B のようなものが、原子命題に真理値を割り当ててそれを仮定すると、命題論理の公理系 LP で証明可能であることを示した。適当に作った A -> (B -> A) のような論理式がどれも LP 公理系で仮定 A, B から証明可能であるというのは不思議な感じがする。この不思議な現象の秘密の元は何なのだろうか。おそらく、それは LP 公理系そのものに潜んでいるのだろう。

LP では次のウカシェビッチの3つの公理と、A が定理で A -> B が定理なら B も定理であるという推論規則 modus ponens から次々に定理を紡ぎだしていく。次のウカシェビッチの公理はいずれも、真理表ではトートロジーになる。

A -> (B -> A)
A -> (B -> C) -> ((A -> B) -> (A -> C))
(~B -> ~A) -> (A -> B)

また modes ponens で推論する場合 A がトートロジーで A -> B がトートロジーであれば B もやはりトートロジーになる。

したがって、LP 公理系で紡ぎだされた定理はトートロジーになることは自明である。完全性定理では逆に任意の論理式がトートロジーであればそれは LP 公理系で証明可能であることを証明している。しかし、任意のトートロジーである論理式が証明可能であることをどうやって証明すればいいのだろうか。このあたりが命題論理の完全性定理の理解で苦戦するところだ。

それを解決するために A -> B のような論理式について考えてみる。論理式は論理式の文法規則によって原子命題と命題結合しを配列したものである。また、真理表は原子命題の真理値によって論理式の真理値を計算することができる。したがって、原子命題 A と原子命題 B の真理値が真である場合は、これを LP 公理系の仮定として採用することで、論理式を演繹することができる。この過程の下で任意の論理式を演繹できればよいのだ。例えば A と B が真であったとするとこれを仮定として採用して次のように様々な論理式が演繹できる。

A, B |- A
A, B |- B
A, B |- A -> B
A, B |- B -> A
A, B |- A -> (B -> A)
A, B |- ~B -> ~A

しかし、A, B が真であるという仮定からは ~A は演繹できない。なぜなら ~A は偽であるので、LP 公理系では A が真であるという仮定からは演繹できないからだ。

幸いなことに A, B のとり得る真理値は真のみではない、A が偽で B が真の場合もある。この場合には ~A が真となるので仮定は ~A, B を採用することになる。この場合には次のように ~A が真である演繹が公理系でできる。

~A, B |- ~A

しかし、この公理系では最初の公理系とは仮定が異なっているので同じラインで論じることはできない。たとえば、最初の仮定では A が証明可能だが、~A は証明可能ではない。また2番目の仮定からは ~A は証明可能だが A は証明可能ではない。しかし、仮定が A の場合でも ~~A は証明可能である。さらに、原子命題 A, B についてさらにつぎのような2つの異なる仮定の公理系を作ることができる。

A, ~B |- ~B
~A, ~B |- ~A -> ~B

このように原子命題 A, B の真理値によって4種類の異なる仮定の LP 公理系を作ることができる。この場合に注意しなくてはならないのはどの場合でも仮定の命題の真理値は真であるということだ。これは modes ponens の前提の命題はトートロジーでなくてはならないからだ。

原子命題 A, B の真理値によって仮定を変えることで様々な論理式を演繹できることが分かったが、問題は、この方法でどんな論理式でも証明できるような仮定を見つけることができるかということだ。幸いなことにそれは可能だ。論理式には文法があり、その文法に従わないものは論理式ではない。たとえば ~A は論理式だが A~ は論理式ではない。また A -> B は論理式だが、A B -> は論理式ではない。論理式とは、A の形のスキーマ、すなわち A を命題変数と考え、そこに任意の論理式を代入した肯定形のものか、~A の 形のスキーマ、すなわち、A を命題変数と考え、そこに任意の命題を代入した否定形か、A -> B の形のスキーマ、すなわち、A と B を命題変数と考えそこに任意の命題を代入した含意か3つのパターンをとるということだ。そうであれば、A、~A 、A -> B の3つのパータンを上の4つの仮定で演繹できれば任意の論理式の演繹が4つの仮定のもとで証明できることになる。

まず A だが、これは A が真であるという仮定を採用すると、

A |- A

で証明可能である。

また、~A は A が偽であるという仮定の下で、

~A |- ~A

で証明可能だ。ただし、~(~A) は ~A からは演繹できない。しかし、これは A から演繹可能である。

A |- ~(~A)

このことから、否定形の論理式は ~(~(~(...(~A)))) のどの形の論理式も A か ~A の仮定から演繹可能である。

A -> B の場合は B と ~A の二つの仮定のもとで証明可能である。

B |-> B
B |-> B -> (A -> B)
B |-> (A -> B)

~A |-> ~A
~A |-> ~A -> (~B -> ~A)
~A |-> ~B -> ~A
~A |-> A -> B

ただし、A -> B は A, ~B からは演繹できない。なぜなら ~A はこの仮定では演繹不可能だからだ。しかし、次のように ~(A -> B) は演繹可能である。

A, ~B |- A
A, ~B |- ~B
A, ~B |- A ->((A -> B) -> B)
A, ~B |- (A -> B) -> B
A, ~B |- ((A -> B) -> B) -> ~B -> ~(A -> B)
A, ~B |- ~B -> ~(A -> B)
A, ~B |- ~(A -> B)

したがって、原子命題 A, B の可能な組み合わせについて A -> B または ~(A -> B) は証明可能である。これと ~A についての結果を組み合わせると、任意の論理式 Q について、Q または ~Q はその要素命題の真理値に応じて選んだ仮定によって演繹可能であることが分かる。

任意の論理式を要素命題の仮定から演繹できる仕組みは、LP 公理系そのものに備わっていたのだ。


追記

A |- ((A -> B) -> (A -> B)) -> (((A -> B) -> A) -> ((A -> B) -> B))
A |- (A -> B) -> A) -> ((A -> B) -> B)
A |- A -> ((A -> B) -> A)
A |- A
A |- (A -> B) -> A
A |- (A -> B) -> B
|- A -> ((A -> B) -> B)


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# by tnomura9 | 2017-09-14 02:03 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

命題と命題変数

命題論理の複合命題、たとえば A -> B のような命題を構成する要素的な原子命題 A, B には2つの意味がある。一つは 「空が真っ赤だ」というような特定の命題を指し示す記号としての役割だ。A = 「空が真っ赤だ」、B = 「明日は晴れだ」の場合 A -> B は「空が真っ赤だ、ならば、明日は晴れだ」という特定の命題を表す。

一方、A, B のもう一つの意味は命題変数としての意味だ。この場合 A, B は特定の命題を表すのではなく、任意の命題をそこに置くためのプレースホルダーのような役目をする。この場合 A -> B は命題 A と 命題 B の関係性を表しているだけで特定の意味を持っているわけではない。

この2つの意味を意識的に使いこなさないと、命題論理の証明が理解できない場合がある。たとえば、命題式 A -> B は LP 公理系で証明可能だろうかという問に対してはなんと答えたら良いだろうか。A, B を命題変数と考えたら明らかに証明不可能だ。なぜならば、A -> B は次の真理表のようにトートロジーではないからだ。命題論理の完全性定理から、公理から証明できる定理はトートロジーであるからだ。

A | B | A -> B
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

ところが、命題 A と 命題 B が特定の命題でその真理値が T であるとき、次の証明のように、A -> B は A, B の仮定のもとで証明可能になる。

A, B |- B
A, B |- B -> (A -> B)
A, B |- A -> B

この場合 A -> B の真理値は T である。なぜなら A, B ともに T だからだ。また、同時に仮定 A, B のもとで証明可能でもある。

それでは A -> B の A, B が命題変数であるばあいはどのように考えたら良いだろうか。この場合抽象的な命題としての A -> B はトートロジーではないので証明可能ではない。しかし、A, B に真理値が T だったり F だったりする場合に特定の命題を当てはめると証明可能な場合がある。A -> B の真理表をこの立場から再掲してみる。A, B が特定の命題であることをはっきりさせるために a, b と小文字で表示することにする。

a | b | ~a | ~b | a -> b | ~(a -> b)
T | T | F | T | T | *
T | F | F | T | * | T
F | T | T | F | T | *
F | F | T | T | T | *

a, b が共に T のときはこれを仮定すると a -> b が次のように証明できる。

a, b |- b
a, b |- b -> (a -> b)
a, b |- a -> b

a が F で b が T のときは a の仮定を ~a に置き換えると ~a は T なので a -> b が証明できる。

~a, b |- b
~a, b |- b -> (a -> b)
~a, b |- a -> b

a が F で b が F のときは a の仮定を ~a, b の仮定を ~ b で置き換えると a -> b が証明できる。

~a, ~b |- ~a
~a, ~b |- ~b
~a, ~b |- ~b -> ~ a
~a, ~b |- a -> b

a が T で b が F のときは a -> b は F になるので b の仮定を ~b に置き換え a -> b の結論を ~(a -> b) に置き換えると ~(a -> b) が証明できる。

a, ~b |- a
a, ~b |- ~b
a, ~b |- a ∧ ~b
a, ~b |- ~(a -> b)

ここで次のような表記を導入する。a' は a が T のとき a' = a で a が F のとき a' = ~a、b' は b が T のとき b' = b で b が F のとき b' = ~b、A = a -> b として A が T のとき A' = A で A が F のとき A' = ~A。

そうすると上の4つの関係は a' b' |- A' とまとめることができる。普通の仮定と証明の関係に似た記述だが、単一の証明を表しているのではなく上の4つのような場合の証明をまとめて表現しているので注意が必要だ。しかし、このことは、どのような論理式でもそれを証明する仮定の組み合わせを見つけることができることを示している。まるで魔法のようだが、再帰的に証明ができる。

詳しい証明は参考書を見てほしいが、これを仮定すると命題論理の完全性の証明は簡単だ。トートロジー A の要素命題を q1, q2, q3, ... , qm とすると上の表記で次のようになる。

q1',q2',q3', ... , qm' |- A'

ここで、qm が T の場合と F の場合を取り出すと、A' はトートロジーなのでつねに A' = A だ。したがって、

q1', q2', q3', ... , qm |- A
q1', q2', q3', ... , ~qm |- A

なので演繹定理から、

q1', q2', q3', ... , qm-1' |- qm -> A
q1', q2', q3', ... , qm-1' |- ~qm -> A

が証明され、詳細は省くがこのことから

q1', q2', q3', ... , qm-1' |- A

が証明されて qm の仮説が抜けてしまう。これを繰り返すことで、結局 A がトートロジーならば、

|- A

となって A は証明可能であることが分かる。

こんな証明を思いつく人は頭の中が想像もつかないことになっているに違いない。

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# by tnomura9 | 2017-09-12 03:23 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

二項関係の真理表

領域 D の対象が a, b, c, ... で述語が A, B, C, ... のとき、A(a) は命題を表し、命題関数 A(x) は命題論理で言う命題変数を表すと考えることができる。従って、A(x)、B(x) を命題変数と考えると、A(x) -> B(x) という含意の真理表を次のように作ることができる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

A が述語の場合、A(x) のアリティ(項数)が1であるので全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理表も次のように作ることができる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x) | ∀x.(A(x) -> B(x))
T | T | T | F
T | F | F | F
F | T | T | F
F | T | T | F

全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) については、その真理値は要素的な命題 A(x), B(x) の真理値によって決まるのではなく、量化子のつけられた A(x) -> B(x) の真理値のパターンが領域 D でどうなるかということで決まる。領域 D について、A(x) -> B(x) の真理値が T にも F にもなり得るときは ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は F で、A(x) -> B(x) の真理値が常に T のときは ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は T である。

ところで、全称命題の真理表の議論は述語 A が1変数関数(アリティが1)だったが、2項関係のように2変数関数の場合には真理表が作れるのだろうか。それが、作れるのだ。例えば、述語 A の命題関数が A(x) という1変数関数で、2項関係 B の命題関数が B(x, y) だったとする。すると A(x) -> B(x,y) の含意の真理表は次のようになる。

A(x) | B(x, y) | A(x) -> B(x, y) |
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | F

A(x) は述語で、B(x,y) は2項関係であるが、どちらも領域 D の対象を A(a) や B(c,d) のように割り当てることによって真理値を求めることができるから、上のような真理表をつくることが可能だ。

それではこの場合の全称命題はどのように表現できるだろうか。例として、∀x∀y.(A(x) -> B(x,y)) の真理表を作ってみる。

A(x) | B(x, y) | A(x) -> B(x, y) | ∀x∀y.(A(x) -> B(x, y))
T | T | T | F
T | F | F | F
F | T | T | F
F | F | T | F

これは領域 D の任意の対象から A(a), B(c,d) という命題を作ったとき、A(a) -> B(c,d) が T になったり F になったりするときは ∀x∀y.(A(x) -> B(x,y)) の真理値は F になることを示している。例えば、領域 D が自然数の場合

A(x) : x = 2
B(x, y) : x * y = y

のときは、A(2) = T のとき、B(2, 0) = T であるから、A(2) -> B(2, 0) = T であるが A(2) のとき B(2, 1) = F であるから A(2) -> B(2,1) = F である。すなわち、命題 A(x) -> B(x, y) は領域 D について T にも F にもなるので ∀x∀y.(A(x) -> B(x,y)) の真理値は F である。

それでは、次のような場合はどうだろうか。

A(x) : x = 1
B(x, y) : x * y = y

この場合 A(x) = T のときは x = 1 しかありえない。このときは B(1, y) : 1 * y = y であるので、全ての y について B(x, y) = T である。従って、A(x) = T のときは B(x, y) = F はありえないので、真理表は次のようになる。

A(x) | B(x, y) | A(x) -> B(x, y) | ∀x∀y.(A(x) -> B(x, y))
T | T | T | T
F | T | T | T
F | F | T | T

どんな自然数 x, y を持ってきても A(x) = T すなわち x = 1 のときは必ず B(x, y) = T となるから、A(x) -> B(x, y) の真理値はどんな場合でも T である。したがって、∀x∀y.(A(x) -> B(x, y)) の真理値は T となる事がわかる。

このように、述語 A(x) だけでなく、2項関係についても真理表による分析が可能であることが分かる。

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# by tnomura9 | 2017-09-07 05:43 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

全称命題の真理表

命題論理では含意の真理表は次のようになる。

A | B | A -> B
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | F

A や B は特定の命題を表しているのではないのでこれらは命題変数と呼ばれる。従って、真理表では含意 A -> B の真偽は原子命題 A と B の真理値の組み合わせで決まる。

ところで、領域 D についての命題は領域 D の対象 a, b, c, ... と述語 A, B, C, ... の組み合わせ、たとえば A(a) で表せる。また対象の部分を変数にした A(x) は命題関数とよばれ、領域 D の対象を引数にとり、命題を返す。命題関数 A(x) を別の見方からみると、これは領域 D の対象と述語 A で作られる全ての命題を表しているとも考えられる。これは、上の命題論理の命題変数と同じ意味であつかう事ができる。従って、一階述語論理の含意の真理表はつぎのように作ることができる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

この真理表の作り方は、命題論理の真理表と全く変ることはない。命題変数 A(x) は領域 D について真の場合も偽の場合もあり、命題変数 B(x) についても同様だ。

しかし、一階述語論理には量化子を使った命題がある。たとえば、∀x.(P(x) -> Q(x)) のような全称命題だ。このばあい全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は、領域 D の全ての対象についての命題変数 A(x) -> B(x) の真理値のパターンによって決まる。すなわち、A(x) -> B(x) の真理値が領域 D の中で T でも F でも取ることができるときは ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は F である。したがって、全称命題 ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理表は次のようになる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x) | ∀x.(A(x) -> B(x))
T | T | T | F
T | F | F | F
F | T | T | F
F | F | T | F

この真理表における ∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は個々の A(x) と B(x) の真理値の組み合わせで決まるのではなく A(x) -> B(x) が領域 D 全体についてとり得る真理値のパターンによって決まる。すなわち、領域 D の全対象について A(x) -> B(x) の真理値のとり得るパターンが T, F, T, T であるとき、∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は F である。

しかし、領域 D の全ての対象について A(x) と B(x) の組み合わせの全てのパターンすなわち (T, T), (T, F), (F, T), (F, F) が現れるわけではない。たとえば、A(x) が真ならば B(x) は必ず真であるというような述語間の関係が存在するとき上の真理表は次のようになり、∀x.(A(x) -> B(x)) の真理値は上の真理表とは異なって T になってしまう。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x) | ∀x.(A(x) -> B(x))
T | T | T | T
F | T | T | T
F | F | T | T

このように全称命題の真理値は、個々の命題変数の真理値の組み合わせではなく、領域全体についての命題変数の真理値のパターンで決まる。

このため、全称命題の真理表については命題論理の真理表とは異なる注意が必要になる。命題論理の真理表では複合命題の真理値は要素的な原子命題の真理値で決定できるため、すべての場合に同じ真理表で対応できた。しかし、全称命題については、量化子のつけられた命題変数の、領域 D 全体における真理値のパターンで真理値が決まる。したがって、領域 D における命題変数の真理値のパターンいかんによっては、全称命題の真理値が異なってしまう。

たとえば全称命題 ∀x.A(x) の場合、領域 D において A(x) の真理値が T と F の両方をとり得るのか、T だけしか取らないのか、F だけしか取らないのかの3つのパターンがある。そうして、それぞれのパターンでこの全称命題の真理値はかわってくるので、それぞれの真理表を作らなければならない。しかし、領域 D における A(x) の真理値のパターンはこの3つだけなので、3つの真理表を作成することで、∀x.A(x) についての一般的な議論をすることができる。

以上の議論については全称命題について述べたが、存在命題の場合も同じようなやり方ができる。いずれにせよ、一階述語論理であっても命題論理と同じように真理表による分析はできるのだ。真理表を作ることができるということは、一階述語論理の性質を真理表を具体的に作成することで議論することができることを意味する。一階述語論理につきまとう抽象的な印象を随分和らげることができる。

例として ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) が同値であることを証明してみる。まず、A(x) が領域 D の対象全体について真理値を T も F もとり得る場合の真理表は次のようになる。A(x) の真理値は T と F の両方が存在するので ∀x.A(x) の真理値は F である。従って ¬(∀x.A(x)) の真理値は T である。一方 A(x) の真理値のうち A(x) が F になるものが存在し、その時 ¬A(x) は T になるので、∃x.(¬A(x)) の値は T である。すなわち、¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) は同値である。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
T | F | F | T | T
F | T | F | T | T

上では、領域 D について A(x) が T と F の両方の値を取る場合について述べたが、一般的な議論のためには、領域 D について A(x) が T の値しか取らない場合と、A(x) が F の値しかとらない場合も考えなくてはならない。

先ず、A(x) の値が領域 D において T の値しか取らない場合は A(x) の値は常に T なので、¬(∀x.A(x)) は F になるが、このときは ¬A(x) の値は常に F なので∃x.(¬A(x)) の値も F になり両者の真理値は一致する。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
T | F | T | F | F

次に、A(x) が常に F となる場合は次のように ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) の真理値は T となるが、この場合も両者の真理値の一致がみられる。

A(x) | ¬A(x) | ∀x.A(x) | ¬(∀x.A(x)) | ∃x.(¬A(x))
F | T | F | T | T

このように領域 D における A(x) の可能な真理値のパターンで3つの異なる真理表の作成が必要になるが、どの場合にも ¬(∀x.A(x)) と ∃x.(¬A(x)) の真理値は一致するので両者は同値であると結論づける事ができる。一階述語論理には、量化子を使った命題があるからといっても、これを真理表で議論するのは不可能ではないし、難しくもない事がわかる。


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# by tnomura9 | 2017-09-03 22:04 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

一階述語論理と真理表

命題論理には真理表がある。これを使うと複合命題の真理表が機械的に計算できる。たとえば含意の真理表は次のようになる。

P | Q | P -> Q
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

真理表の利点は命題の真理値の機械的な割り当てで複合命題の真理値が計算できることだ。同じような定理を公理と推論規則から証明するのはかなり骨が折れる。命題論理学が分かりやすいと感じるのは真理表が寄与するところが大きいのではないだろうか。

しかし、一階述語論理には真理表がない。∀x. (P(x) -> Q(x)), P(a) が真ならば、Q(a) が真であるというような推論も真理値表が使えず。公理からの推論規則による証明が必要になってくる。そこで、論理にも真理表があれば便利だろうと思ったので考えてみた。一回述語論理の真理表による推論は、領域 D のモデルを使って行う。

対象の有限集合である領域 D を考える。領域 D の要素である対象 a, b, c, ... には述語 A, B, ... で表される性質を考えることができる。対象 a と述語 A の対は命題を作る。命題 A(a) は対象 a が A という述語の性質を持っているときに真である。そうでないときは A(a) は偽となる。述語 A に領域 D のすべての対象を割り当てて命題 A(a) が真になる対象のみを集めると述語 A の真理集合 A* ができる。A* は D の部分集合である。したがって真理集合は領域 D のべき集合の要素である。このべき集合を真理集合族と呼ぶことにする。

命題 A(a) の真理値と a ∈ A* の真理値は一致する。したがって A(a) と a ∈ A* は同値であり後者を命題と考えることができる。対象を変数で表した命題 A(x) は述語が A である命題全般を表す。述語 A を領域 D のすべての対象に適用したとき、領域 D の要素の数だけの命題ができるが、A(x) はそれらの命題の一つを表していると考えられる。つまり A(x) は述語が A であるような命題の命題変数だ。

A(x) は命題変数なので真理表をつくることができる。原子命題変数 A(x) と B(x) から複合命題 A(x) -> B(x) を作ることができて、それについての真理表を作ることができる。この際に A(x) と B(x) は同じ対象を表していると考えることにする。命題変数 A(x) と B(x) から作られる A(x) -> B(x) の真理表は次のようになる。これは命題論理学で使われる真理表と意味は同じである。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T

ここで A(x) -> B(x) が常に真であるという仮定をする。A(x) と B(x) が互いに自由に真理値をとれる場合はこのようなことは起こらないが、A(x) が真の時は必ず B(x) も真であるというような、述語 A と B の間に関連性があるときは、そのようなことも起こりえる。その場合の真理表は次のようになる。

A(x) | B(x) | A(x) -> B(x)
T | T | T
T | T | T
F | T | T
F | F | T

ここで、述語 A を充足する対象 a を取り出して命題 A(a) を考えてみる。この時命題 A(a) の真理値は真である。また、含意 A(x) -> B(x) が恒真命題であると仮定する。すると次のような真理表ができる。

A(a) | B(a) | A(a) -> B(a)
T | * | T

B(a) の真理値が分からないが、それは上の含意の真理値表から推論することができる。すなわち A(x) と A(x) -> B(x) がともに真になるのは B(a) の真理値が T の時だけだ。したがって、この真理表は次のようになる。

A(a) | B(a) | A(a) -> B(a)
T | T | T

したがって A(x) -> B(x) が常に真、すなわち、全称命題 ∀x. (A(x) -> B(x)) が真の時は、A(a) が真ならば B(a) も真である。これを真理集合を使って表現すると、

a ∈ A* ならば a ∈ B*

である。この条件を満たすどのような対象を a として持ってきても上の関係は成立するから、述語 A の真理集合と述語 B の真理集合は包含関係にある。すなわち、

A* ⊂ B*

である。

もうひとつ例を考えてみよう。命題変数 P(x) について次のような真理表を作ってみる。

P(x) | ¬P(x) | ∀x. (¬P(x)) | ¬(∀x. (¬(P(x)))
T | F | F | T
F | T | F | T

この真理表は P(x) が真になったり偽になったりする条件下では ¬(∀x. (¬(P(x))) は常に真になることを示している。この真理表で ∀x. (¬P(x)) の真理値の求め方は特殊だ。この命題の真理値は ¬P(x) の真理値の列が全て T の時だけ真になる。この真理表では T と F が出現するので ∀x. (¬P(x)) の真理値は常に偽になる。

これは P(x) が真にも偽にもなる場合は成立するが、P(x) に制限があって次の真理表のように P(x) が偽の値しかとらないときは真になる。

P(x) | ¬P(x) | ∀x. (¬P(x)) | ¬(∀x. (¬(P(x)))
F | T | T | F

そこで存在命題 ∃x. P(x) について考えてみる。この命題は P(x) が真となる場合が少なくとも一つは存在すると真になる。したがって真理表は次のようになる。

P(x) | ¬P(x) | ∀x. (¬P(x)) | ¬(∀x. (¬(P(x))) | ∃x. P(x)
T | F | F | T | T
F | T | F | T | T

これ以外に P(x) が必ず真となるときも、Ex. P(x) は真になる。

P(x) | ¬P(x) | ∀x. (¬P(x)) | ¬(∀x. (¬(P(x))) | ∃x. P(x)
T | F | F | T | T

また、P(x) が必ず偽となる場合は、Ex. P(x) は偽になる。

P(x) | ¬P(x) | ∀x. (¬P(x)) | ¬(∀x. (¬(P(x))) | ∃x. P(x)
F | T | T | F | F

P(x) の真理値のとりえる可能性はこの3つの場合だけだ。しかし、どの場合にも ¬(∀x. (¬(P(x))) と ∃x. P(x) の真理表における真理値は一致する。したがって、この二つの複合命題は同値である。

ここに述べた議論は領域 D が有限集合の場合だったが、これらの推論は述語に排中律が成立していれば領域 D が無限集合であっても適用できる。一階述語論理は領域 D が無限集合の場合も適用できる。すなわち、無限集合の領域 D にも一階述語論理を適用するためには排中律が必須であることがわかる。

追記

真理表の議論では A(x) が真であることは x ∈ A* に、偽であることは x /∈ A* に置き換えることができる。また A(x) ∧ B(x) のような複合命題は A* ∩ B* のように論理結合子に対応する集合演算に置き換えできる。

真理集合 A* と真理集合 B* の集合演算 A* ∧ B* の値もまた領域 D の部分集合である。すなわち、全ての論理演算は対応する領域 D の真理集合族についての集合演算について閉じている。

量化子を使った ∀x. P(x) のような命題は述語を持たないが、仮想的な述語 Q(x) を持つと考えると x ∈ Q* で真偽を論じることができる。この場合 Q* は領域 D と等しいか、または空集合 {} である。

このように一階述語論理の議論は領域 D とその真理集合族の議論に置き換えることができる。命題の真理値の議論については、対象についての述語の意味によらず真理集合族の要素に置き換える事ができるので、論理の法則の抽象性が保たれることになる。

また、述語を真理集合に置き換える利点は、それによって、領域 D が無限集合であっても論理と集合の置き換えが行えるということだ。ただし、命題は排中律を満たし真理集合を定義できなくてはならない。命題が排中律を満たしていれば、任意の対象 x について x ∈ A* かどうかの議論ができるので、命題 A(x) に対応する真理集合 A* を求める事ができる。

このことは、量化子のある命題 ∀x. P(x) が無限集合の領域 D にあっても定義できることを意味している。対象と命題の対で全ての原子命題を作ろうとしても、領域 D が無限集合の場合は、∀x. P(x) = P(a1) ∧ P(a2) ∧ ... と原子命題の無限の論理積を考えないといけないが、命題を集合に変えてやれば、任意の x について x ∈ P* という議論をすることができるので全称命題 ∀x. P(x) を無限の x についても定義することができる。

これらの議論から領域 D に一階述語論理の法則を適用できるための条件が明らかになる。それは、一階述語論理を適用しようと思う領域 D という全体集合が定義されていることと、命題の排中律が満されていることだ。素朴集合論を対象間の帰属関係が定義されたネットワークの全体として定義した場合、排中律が満たされないので、これを領域 D とする一階述語論理を適用することはできない。一方、上の議論では集合の集合というような集合の階層構造はないので、ラッセルのパラドックスのような自己言及のパラドックスも発生しない。

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# by tnomura9 | 2017-09-01 19:20 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

isSubsetOf

前回の記事では領域 D のべき集合について、包含関係にある要素のペアを抜き出すプログラムを紹介した。領域 D の二つの部分集合が包含関係にあるかどうかを判別するために Set.isSubsetOf 関数を使ったが、これは Data.Set の集合型にしか使えないため、リストで表現した集合を集合型に変換していた。

この isSubsetOf 関数がリスト型のデータに使えれば便利だと思っていたら、簡単にかけてしまった。isSubsetOf 関数が定義できれば、リストのままでプログラムが実行できる。実行例は次のようになる。プログラムの意味は前回の記事と同じなので省略する。

Prelude> let isSubsetOf a b = and $ map (\x -> elem x b) a
Prelude> isSubsetOf [2,3] [1,2,3]
True
Prelude> :{
Prelude| let
Prelude| power [] = [[]]
Prelude| power (x:xs) = (power xs) ++ (map (x:) (power xs))
Prelude| :}
Prelude> power [1,2,3]
[[],[3],[2],[2,3],[1],[1,3],[1,2],[1,2,3]]
Prelude> let domain = [1,2,3]
Prelude> let subs = power domain
Prelude> let cartesian = [(x, y) | x <- subs, y <- subs]
Prelude> filter (\x -> isSubsetOf (fst x) (snd x)) cartesian
[([],[]),([],[3]),([],[2]),([],[2,3]),([],[1]),([],[1,3]),([],[1,2]),([],[1,2,3]),([3],[3]),([3],[2,3]),([3],[1,3]),([3],[1,2,3]),([2],[2]),([2],[2,3]),([2],[1,2]),([2],[1,2,3]),([2,3],[2,3]),([2,3],[1,2,3]),([1],[1]),([1],[1,3]),([1],[1,2]),([1],[1,2,3]),([1,3],[1,3]),([1,3],[1,2,3]),([1,2],[1,2]),([1,2],[1,2,3]),([1,2,3],[1,2,3])]

この手の問題の解決には Haskell は非常に強力だ。

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# by tnomura9 | 2017-08-31 18:05 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

方程式としての全称命題

この記事では全称命題は命題というよりは一種の方程式ではないのかという議論をする。

最初に一階述語論理のモデルとしての領域 D を定義する。領域 D = {1, 2, 3} のとき述語 A(x) について A(a) が真となるような対象の集合は述語 A(x) の真理集合 A* だ。これは明らかに D の部分集合である。また、a ∈ D について、a ∈ A* は A(a) の真理値と一致する。したがって a ∈ A* は命題と同一視できる。すなわち領域 D = {1, 2, 3} と D の冪集合 {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} は一階述語論理のモデルである。

この領域 D モデルでは、対象 a と真理集合 A* の対は a ∈ A* という命題をつくる。また量化子を用いた全称命題 ∀x. P(x) も真偽値を持ち命題として扱われる。

しかし、ソクラテスが人間なら、ソクラテスは死ぬという推論は、全称命題∀x. (P(x) -> Q(x)) の命題としての性質よりも、量化子がつけられる 命題 P(x) -> Q(x) の性質を利用している。すなわち、∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であれば、P(x) と Q(x) の真理集合 P* と Q* の間に P* ⊂ Q* という関係がある。

しかし、この関係式ですら P* と Q* を特定しているわけではない。この関係を充足するすべての領域 D の真理集合を表している。したがって、全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) は特定の命題と言うよりは、この関係式を充足する真理集合の集合をしめしている。この意味で全称命題は方程式と言える。

そこで領域 D において Ax. (P(x) -> Q(x)) が真となるような述語 P(x) と Q(x) の対、あるいは真理集合 P* と Q* の対にはどのような物があるかを Haskell で計算してみた。

領域 D は domain = [1,2,3] とリストにした。定義した power 関数で domain の冪集合 subs を計算する。:{ ... :} は複数行で定義する時のコマンドだ。subs_set はリスト形式の部分集合を集合に変換する。cartesian は subs_set の直積集合。最後の結果は Set.isSubsetOf 関数で包含関係のある部分集合のペアを選びだしたもの。

Prelude> import qualified Data.Set as Set
Prelude Set> let domain = [1,2,3]
Prelude Set> :{
Prelude Set| let
Prelude Set| power [] = [[]]
Prelude Set| power (x:xs) = (power xs) ++ (map (x:) (power xs))
Prelude Set| :}
Prelude Set> let subs = power domain
Prelude Set> subs
[[],[3],[2],[2,3],[1],[1,3],[1,2],[1,2,3]]
Prelude Set> let subs_set = map Set.fromList subs
Prelude Set> subs_set
Prelude Set> let cartesian = sequence [subs_set, subs_set]
Prelude Set> filter (\x -> Set.isSubsetOf (x!!0) (x!!1)) cartesian
[[fromList [],fromList []],[fromList [],fromList [3]],[fromList [],fromList [2]],[fromList [],fromList [2,3]],[fromList [],fromList [1]],[fromList [],fromList [1,3]],[fromList [],fromList [1,2]],[fromList [],fromList [1,2,3]],[fromList [3],fromList [3]],[fromList [3],fromList [2,3]],[fromList [3],fromList [1,3]],[fromList [3],fromList [1,2,3]],[fromList [2],fromList [2]],[fromList [2],fromList [2,3]],[fromList [2],fromList [1,2]],[fromList [2],fromList [1,2,3]],[fromList [2,3],fromList [2,3]],[fromList [2,3],fromList [1,2,3]],[fromList [1],fromList [1]],[fromList [1],fromList [1,3]],[fromList [1],fromList [1,2]],[fromList [1],fromList [1,2,3]],[fromList [1,3],fromList [1,3]],[fromList [1,3],fromList [1,2,3]],[fromList [1,2],fromList [1,2]],[fromList [1,2],fromList [1,2,3]],[fromList [1,2,3],fromList [1,2,3]]]

全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であることは、上に示したような述語の真理集合 P* と Q* の組があることを示している。

追記

最後の結果が読みづらかったので、集合をリストに変換して表示してみた。

Prelude Set> let inclusion = filter (\x -> Set.isSubsetOf (x!!0) (x!!1)) cartesian
Prelude Set> map (\x -> map Set.toList x) inclusion
[[[],[]],[[],[3]],[[],[2]],[[],[2,3]],[[],[1]],[[],[1,3]],[[],[1,2]],[[],[1,2,3]],[[3],[3]],[[3],[2,3]],[[3],[1,3]],[[3],[1,2,3]],[[2],[2]],[[2],[2,3]],[[2],[1,2]],[[2],[1,2,3]],[[2,3],[2,3]],[[2,3],[1,2,3]],[[1],[1]],[[1],[1,3]],[[1],[1,2]],[[1],[1,2,3]],[[1,3],[1,3]],[[1,3],[1,2,3]],[[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2,3]],[[1,2,3],[1,2,3]]]

繰り返しの操作をループを使わずに記述できるのは嬉しい。Haskell で何か作りたくなってきた。

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# by tnomura9 | 2017-08-30 08:27 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

含意の全称命題の意味

「全ての対象についてそれが人間であるならば、それは死すべきものである。」という全称命題が真であるということはどういうことを意味しているのだろうか。

これを記号化すると ∀x. (P(x) -> Q(x)) となる。そこで、領域 D の対象 a を取り上げて P(a) -> Q(a) という命題を作ってみる。これは含意の複合命題だから、その真理表を作ることができ、それは次のようになる。

P(a) | Q(a) | P(a) -> Q(a)
T | T | T
T | F | F
F | F | T
F | F | T

この真理表には P(a) -> Q(a) が偽の場合もある。つまり、P(a) が真で Q(a) が偽の場合は P(a) -> Q(a) は偽になる。このことは、含意の真理表は常に真になるとは限らないことを示している。

しかし、∀x. (P(x) -> Q(x)) は全ての x に対して P(x) -> Q(x) が真になることを主張している。これは真理表の結果とは異なるが、P(x) と Q(x) の間に特別な関連性があれば矛盾しない。すなわち ∀x. (P(x) -> Q(x)) の P(x) と Q(x) の間には特別な関係があり、P(a) が真であって、Q(a) が偽であるということはないと考えれば良い。

そのような特別な P(x) と Q(x) の関係では、P(a) -> Q(a) は常に真になる。この場合 P(a) -> Q(a) の真理表は次のように常に真になる。

P(a) | Q(a) | P(a) -> Q(a)
T | T | T
F | T | T
F | F | T

このとき P(a) が真であれば、Q(a) のとり得る値は真でしかない。命題 P(x) の真理集合を P* とすると P(a) が真であるということは、a ∈ P* である。このとき、Q(a) は必ず真であるので a ∈ Q* である。全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) はこの関係が領域 D のどのような対象についても成立することを示している。すなわち、任意の a について a ∈ P* ならば必ず a ∈ Q* である。

このことは領域 D の全ての対象 x について P(x) が真であるということを示しているわけではない。対象 a について P(a) は真の場合も偽の場合もある。しかし、P(a) が真の場合は必ず Q(a) も真なのだ。

ところで、a ∈ P* ならば a ∈ Q* ということは、真理集合 P* と Q* の間に包含関係 P* ⊂ Q* があることを示している。また、P* ⊂ Q* から ∀x. (P(x) -> Q(x)) も証明できる。したがって、全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であるということと、P* ⊂ Q* とは同値である。

このように、一階述語論理のモデルである領域 D という対象の集合を考えれば、述語論理の推論が推論規則だけでなく、領域 D の対象と、述語の真理集合の関係としてとらえる事ができるので、述語論理の性質をより具体的に捉えることができる。

たとえば領域 D = {1,2,3,4,5} において、命題 P の真理集合が P* = {2,3} で命題 Q の真理集合が Q* = {2,3,4} であったとする。この場合明らかに P* ⊂ Q* であるが、この時の P(x) -> Q(x) の真理値を領域 D について全て調べてみると、

x = 1 のとき、P(1) = F, Q(1) = F, P(1) -> Q(1) = T
x = 2 のとき、P(2) = T, Q(2) = T, P(2) -> Q(2) = T
x = 3 のとき、P(3) = T, Q(3) = T, P(3) -> Q(3) = T
x = 4 のとき、P(4) = F, Q(4) = T, P(4) -> Q(4) = T
x = 5 のとき、P(5) = F, Q(5) = F, P(5) -> Q(5) = T

となって ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真であるということが分かる。

一般に、一階述語論理の公理系があって、それを充足するモデルを見つけるという順番で考察が行われるが、逆に一階述語論理のはこのような領域 D の性質であって、公理系はそれを無限集合やそのたの数学的構造に適用できるように拡張したものだと考えたほうが、思考の順序としては分かりやすいのではないかと思う。

つまり、一階述語論理は有限集合の領域 D の法則であるが、その他の領域 D については一階述語論理が適用できるかどうかを改めて考えるのだ。この観点からは、ラッセルのパラドックスに別の解釈を与える事ができる。

すなわち、属性関係の与えられた集合という対象の集合である領域 D を考えたとき、この D の構造には一階述語論理が適用できないという考え方だ。ラッセルのパラドックスを集合論の危機ととらえず、このような構造を持った領域 D には一階述語論理が適用できない場合があると考えるのだ。いいかえると、ものの集まりという集合と、属性関係の与えられた対象の外延としての集合とは意味が異なっているということだ。

素朴集合論の集合とはものの集まりであるという定義には矛盾はないような気がする。しかし、集合の集合というようなものを表現するために、属性関係の与えられた集合という対象の全体として集合の世界を捉えたとき、このような領域 D では構造的に一階述語論理が適用できない場合が出てくるのだ。

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# by tnomura9 | 2017-08-29 02:50 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

全称命題の真理値

一階述語論理を適用する対象の領域を D = {1,2,3,4,5} とし、命題 A, B, C の真理集合を A* = {2,3}, B* = {3,4}, C* = {2,3,4} とする。すると、命題 A, B, C の命題関数は A(x) = x ∈ A*, B(x) = x ∈ B*, C(x) = x ∈ C* で定義できる。このとき命題 E = A -> B の命題関数は (A -> B) = ¬A ∨ B なので、E(x) = (x /∈ A*) or (x ∈ B*) と定義される。これらは皆 Hsskell の関数で次のように記述できる。

Prelude> import qualified Data.Set as Set
Prelude Set> let d = Set.fromList [1,2,3,4,5]
Prelude Set> let a = Set.fromList [2,3]
Prelude Set> let b = Set.fromList [3,4]
Prelude Set> let c = Set.fromList [2,3,4]
Prelude Set> let imply x = (Set.notMember x a) || (Set.member x b)

そこで、imply(x) = A(x) -> B(x) の真理集合を求めてみる。これは領域 D の要素を一つづつ imply(x) に代入して真理値が真のものだけを抜き出せばいいから、Set.filter 関数を使うことで実現できる。

Prelude Set> Set.filter imply d
fromList [1,3,4,5]

この真理集合には要素 2 が抜けているので全称命題 ∀x.(A(x)->B(x)) の真理値は偽となるはずだ。これは Prelude の and 関数で計算できるはずだが、and :: [Bool] -> Bool なので and 関数には Bool 値のリストを与えなければならない。従ってあらかじめ集合 d を Set.toList のようにリストに変換しておく必要がある。

Prelude Set> and (map imply (Set.toList d))
False

一方、領域 D の要素の少なくとも1つは imply(x) を真にするから存在命題 ∃x.(A(x) -> B(x)) の真理値は真である。存在命題の真理値の計算は Prelude の or 関数を使う。

Prelude Set> or (map imply (Set.toList d))
True

このように、量化子を使った全称命題や存在命題の真理値の計算は、領域 D の全ての要素についてそれを命題関数 imp(x) に代入した時の真理値をもとめ、それを集計することで得られる事がわかる。

全ての x について x が人間ならば x は死すべきものであるという全称命題 ∀x. (P(x) -> Q(x)) が真ならば、ソクラテスは死すべきものであるという推論では、この全称命題が真であることが仮定されているが、上の imply(x) の全称命題は残念ながら偽だ。含意 A(x) -> B(x) はどのようなときにその全称命題が真になるのだろうか。

そこで、今度は含意を含む命題 imply2 を A(x) -> C(x) で定義してみる。

Prelude Set> let imply2 x = (Set.notMember x a) || (Set.member x c)

すると imply2 の真理集合は領域 D に一致し、その全称命題は真になる。

Prelude Set> Set.filter imply2 d
fromList [1,2,3,4,5]
Prelude Set> and (map imply2 (Set.toList d))
True

どうして A(x) -> B(x) の全称命題は偽で A(x) -> C(x) の全称命題は真なのだろうか。それは A(x) の真理集合と C(x) の真理集合の間に包含関係があるからだ。

Prelude Set> Set.isSubsetOf a c
True

実際 A(x) の真理集合の要素の全ては、C(x) の真理集合の要素でもある。

Prelude Set> a
fromList [2,3]
Prelude Set> c
fromList [2,3,4]

すべての x についてそれが人間ならばそれは死すべきものであるという全称命題は、暗に x が人間の要素であれば、同時に x は死すべきものの要素でもあるということを意味していたのだ。したがって、ソクラテスは人間であるという命題が真であれば、ソクラテスは死すべきものであるという命題も真になる。

これらの推論は別にプログラムを作らなくても理解できるが、プログラムを使ってアルゴリズム化することによって、その意味するものが明確になるという利点がある。


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# by tnomura9 | 2017-08-27 17:28 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)