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Semiotic set theory

Semiotic set theory

I think that it is easy to understand by handling the set semantically, because the intricacies of Russell's paradox in simple set theory seems to be easy to understand.

Semiotics is the concept of linguistics initiated by Saussure. The fundamental way of thinking is to consider the symbol as signifi- cant expression (signifiant) and symbolic content (sinifie) inseparably linked.

For example, the word "snow" is composed of the symbol "snow" and white crystals descending from the sky it points to. The term "snow" (symbol) is considered to be inseparably associated with the symbol itself (symbolic expression) and snow or concept (symbolic content) indicated by the symbol.

As the definition of a set in simple set theory is "a set is a collection of things", we can look at it as a semiotic point in the same way as the "snow". For the set A, the sign "set A" is consisted of the sign "A" itself as a symbolic expression and the group of things that set A is pointing to, that is, {a 1, a 2, ..., ak} as a symbolic content.

By considering a set as a semiotic symbol in this way it is possible to think separately from a set (symbolic expression) as a thing and a set (symbolic content) as a group of things that it points to.

Now, to simplify the discussion here, let's consider a collection {a 0, a 1, a 2, ..., an} consisting only of a set (symbolic expression). Then assume that each set points to the collection {ai, aj, ..., ak} of one of those sets (symbol contents).

In order to describe which element of this collection of sets (symbolic representation) points to which subset of the collection, we can create a n x n in table of the elements. In that table, the elements a 0, a 1, ..., an are arranged horizontally and vertically. Then In the row of the vertically aligned elements 1 is put when the element (set) contains an element corresponding to the horrizontally arranged a 0, a 1, a 2, ..., and 0 if not included as an element, at the intersection of the row and column of the table. In other words, the columns of 1 and 0 in the ai row indicate which kind of elements the set ai (symbolic representation) consists of (symbol contents).

** a 0, a 1, a 2, ..., an
a0 0, 1, 0, ..., 1
a1 1, 1, 0, ..., 0
a3 0, 0, 1, ..., 1
....

an 0, 0, 1, ..., 1

In this way, the correspondence relationship between the set ai (symbolic representation) and the group of elements (symbol contents) represented by the set ai can be described as a row of 1 and 0 in line ai. In other words, whether set ai contains set ak as an element can be determined by whether or not the number of ak columns in line ai is 1.

After that, examine the diagonal part of this table. 1 or 0 described there indicates whether the set contains itself as an element or not. For example, if the value of ai row ai column is 1, set ai includes itself as an element, and if the value of ak row ak column is 0, set ak does not include itself as an element.

Therefore, if you collect the sets ak, ..., am whose diagonal values ​​are 0, you can create sets of sets that do not contain itself as an element. Let's call it ar (symbolic expression) for borrowing. What happens to the line of 1 and 0 of the ar row corresponding to the set {ak, ..., am} represented by ar (symbolic representation)? Clearly it turns out that if the diagonal value of the table is 0, it is 1 and if 1 is 0.

Well, what matches the sequence of this ar line is in a 0, ..., an rows in the table? Obviously it is impossible. Because the sequence of ar rows is the inverted value of the diagonal, so it is different for every diagonal part of any ai.

Therefore, even though there is a group of sets that do not contain themselves as elements in the set {a 0, ..., an}, the symbolic expression of it can not exist in the table which describes the correspondence of the sets and its contents.

For this reason, despite the fact that there is a group of sets that do not make themselves an element, a set ar whose symbolic content is a symbol can not be found in a 0, ..., an. In other words, there can not be a symbolic expression named set ar with those gatherings as symbolic contents. If you are going to instruct such a gathering, it should be called a class, not a set. In Russell's paradox, the paradox was deduced because we thought of a set that do not exist like this as a set.

In this way, by considering a set semiotically as a symbol composed of symbolic representations (signifiers) and symbolic contents (signifiers), it is important to clarify the reasons for classes such as those found in Russell's paradox it can.

From the above discussion, the set of Russell's "set of sets that do not contain itself as an element" can not be a set in any case, and that group will become a class, but the classes includes Russell's class are not there anything else? The answer is understood by thinking as follows.

Obviously, there are actually 2 ^ n collections whose elements are set a 0, a 1, ... an as a symbolic representation. However, there are only n sets that can be considered as symbolic expressions. All other gatherings can not be represented as a set, and they all become classes. The difference between the number of sets and the number of classes increases as the set of symbolic expressions increases. There will be far more classes at any point, even if you set the set as a symbolic expression infinitely large.

In this way, it is easier to understand the origin of the Russell's paradox and the existence of the class by grasping the set semiotically, that is, consider a set as a composition of a symbolic expression and the extension as its symbolic contents.

いきなり英文の記事で不審に思われたかもしれないが、過去記事の「記号論的集合論」を Google 翻訳にかけてみただけだ。明らかに変なところは手直ししてみたが Japanish になってしまったかもしれない。

シニフィエとかシニフィアンなども翻訳されているのに驚いた。ざっと読んだが英文らしくみえるし、知らない単語もたくさんある。おそらく変な英文なのだろうが、そのレベルでも管理人に書けと言われても書けない。

英文で論文やマニュアルを書いたり、単に英作文の勉強をするのにも Google 翻訳は便利なのではないだろうか。人工知能には期待できそうだ。

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by tnomura9 | 2016-12-05 03:25 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

数学基礎論講義

『数学基礎論講義 不完全性定理とその発展』田中一之、鹿島亨、角田法也、菊池誠(著)を読んでいる。学部初級から大学院初年度の学生が対象らしいので、素人が読める本ではない。

それでも命題論理、命題論理の完全性の証明、述語論理、述語論理の完全性定理、再帰的関数、不完全性定理、不完全性定理の発展という風に、層状に整然と議論が進められているので、数学基礎論を見通しよく学んでいくための良いガイドになりそうだ。

おそらくこの本を理解するために、色々な本を物色しないといけないだろうし、最終的に理解できるかどうかは疑問だが、ガイドを片手にいろいろな情報を物色するというのは、なかなか楽しそうだ。

また、専門書を読んで素人が考えた(誤解した)ことをブログにまとめてみるのも面白そうなので、しばらく、この本を中心にブログを書いてみることにする。素人というのは専門家が常識として素通りするような事柄につまづいて色々と変なことを考えたりするので、大半は誤解だが、結構面白い視点もあるかもしれない。

しかし、そのために少し工夫することにした。ひとつ目は難解な用語を使わないこと。2つ目はあまり長い議論はしないことだ。どうせ誤解なら、読んだ人がすぐにこれは誤解だと判断できたほうがいい。また、よく考えたことなら、簡潔に表現できるはずだからだ。

どういう記事になるかはわからないが、命題論理の完全性定理まではやってみたいと思う。これがきちんと理解できれば、述語論理の完全性定理や、うまくいけばゲーデルの不完全性定理がわかるようになれるかもしれないからだ。やってみないと分からないのだけれど。

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by tnomura9 | 2016-07-25 23:47 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

記号論的集合論

素朴集合論におけるラッセルのパラドックスという分かりにくい概念が、集合を記号論的に取り扱うことによって分かりやすくなるような気がしたので書いてみる。

記号論とはソシュールによって始められた言語学の概念だ。その根本の考え方は、記号を記号表現(シニフィアン)と記号内容(シニフィエ)が不可分に結びついたものと考える考え方だ。

例えば「雪」という言葉は「雪」という記号とそれが指し示す空から降ってくる白い結晶から構成されている。雪という言葉(記号)は記号そのもの(記号表現)とその記号が指し示す雪というものあるいは概念(記号内容)とが不可分に結びついたものだと考えられる。

ところで、素朴集合論における集合の定義は、「集合とはものの集まりというものである。」というものである。そこで、これを記号論的に捉えてみると、集合 A については、記号表現としての A と、集合 A が指し示しているものの集まりである {a1, a2, ..., ak} という記号内容から構成されていると考えることができる。

このように集合を記号論的な記号として考えることによって、物としての集合(記号表現)とそれが指し示すものの集まりとしての集合(記号内容)を分けて考えることができる。

さて、ここで議論を簡単にするために、集合(記号表現)だけからなる集まり {a0, a1, a2, ... , an} について考えてみよう。そうして、各集合はそれらの集合のいずれかを集めたもの {ai, aj, ..., ak} を指し示している(記号内容)とする。

そこで、この集合(記号表現)がどの要素を含んでいるかを記述するために、a0, a1, ..., an を横と縦に並べた n x n の表を作る。そうして縦に並べた a0, a1, a2, についてそれぞれが横に並べた集合を要素として含む場合は1を、要素として含まない場合は0を表の縦と横の交点に記入していくことにする。そうすると ai 行に並んだ a0, ..., an 列の1と0の列は集合 ai がどの要素を含んでいるかを表している。つまり、集合 ai (記号表現)がどのような要素の集まりからなっているかは ai 行の1と0の列が表している(記号内容)。

** a0, a1, a2, ..., an
a0 0, 1, 0, ... , 1
a1 1, 1, 0, ... , 0
a3 0, 0, 1, ... , 1
....

an 0, 0, 1, ... , 1

このようにして、集合 ai(記号表現)と集合 ai で表される要素の集まり(記号内容)の対応関係が、ai 行の1と0の列として記述することができる。つまり、集合 ai が 集合 ak を要素として含むかどうかは ai 行の ak 列の数が 1 であるかどうかでわかる。

そこで、この表の対角線の部分を調べてみる。するとそこに記述されている1や0は集合が自分自身を要素として含むかどうかを表していると言える。例えば ai 行 ai 列の値が 1 であれば集合 ai は自分自身を要素として含むし、ak 行 ak 列の値が0であれば、集合 ak は自分自身を要素としては含まない。

したがって、この対角線の値が0の集合 ak, ..., am を集めると、自分自身を要素として含まない集合の集合ができることがわかる。これを借りに ar (記号表現)と呼ぶことにしよう。この ar(記号表現)の表す集合 {ak, ..., am} に対応する ar 行の1と0の列はどうなるだろうか。明らかにそれは、ちょうど対角線の値が0であれば1に1であれば0にしたものであることがわかる。

さて、この ar 行の数列に一致するものが a0, ..., an 行の中にあるだろうか。明らかにそれは不可能である。なぜなら ar 行の数列は対角線の値を反転したものだから、どの ai ともその対角線の部分で異なるからだ。

したがって、集合 a0, ..., an の中には自分自身を要素として含まない集合の集まりは存在するにもかかわらず、それを記号内容とする記号表現は a0, ..., an の中には存在しないことがわかる。このため、自分自身を要素としない集合の集まりはあるにもかかわらず、それを記号内容とする集合 ar は a0, ..., an の中に見つけることはできない。言い換えると、それらの集まりを記号内容とする集合 ar という記号表現は存在できない。このような集まりを指示しようと思うならそれは集合ではなくクラスと呼ぶべきものである。ラッセルのパラドックスではこのように存在しない集合を集合と考えたためにパラドックスになってしまうのだ。

このように集合を記号論的に記号表現(シニフィアン)と記号内容(シニフィエ)から構成される記号であると考えることによって、ラッセルのパラドックスに見られるようなクラスの発生理由を明確にすることができる。

上の議論から、ラッセルの集合「自分を要素として含まない集合の集合」はどのような場合にも集合となることはできず、その集まりはクラスになってしまうが、クラスにはラッセルのクラス以外にはないのだろうか。その答えは次のように考えればわかる。

つまり、記号表現としての集合 a0, a1, ... an を要素とする集まりは実際は 2^n 個ある。しかし、記号表現として考えることのできる集合は n 個しかない。それ以外の集まりは集合として表現することはできず全てクラスになってしまうのだ。集合とクラスの数の差は記号表現としての集合を増やすほど大きくなっていく。たとえ記号表現としての集合を無限に大きくしていってもどの時点でもはるかに多くのクラスが存在することになる。

このように集合を記号論的に、記号表現としての集合とその記号内容としての外延というふうに捉えることによって、ラッセルのパラドックスの成因やクラスの存在を理解しやすくなる。

追記

これは集合 a の集合(全体集合)を考え、集合 a という記号表現にたいし、その集合の部分集合である {a1, a2, ... , an} (記号内容)を対応させることで、「集合とは物のあつまりというものである」という定義のモデルを作った場合の推論を示している。言い換えると、集合と集合の要素を同列において考えるとどうなるかということだ。

この全体集合の要素数が n のとき、この全体集合のべき集合の要素数は 2^n になるので、全体集合の要素ですべての可能なべき集合の要素に対応付けることはできない。とくに「自分自身を要素として含まない集合の集合」は記号表現としての全体集合の要素を、どのように記号内容としての全体集合の部分集合と対応させた場合でも、全体集合のなかに「自分自身を要素して含まない集合」という部分集合があるにも関わらず、それに対応する全体集合の要素をみつけることがでいない。

これは全体集合の要素 n がどんなに多くなっても成り立つので、全体集合が可算の場合は、ラッセルの集合を表す集合をその中に見つけることはできないことを示している。

追記その2

上の議論では全体集合の要素である集合のなかにラッセルの集合を見つけることができないという議論だった。しかし、強制的にラッセルの集合を全体集合の中に作ってみることはできないだろうか。つまり a0, a1, ..., a(n-1) までは普通に集合を定義して、an を「自分自身を要素として含まない集合の集合」にできないだろうかということだ。しかし、この試みもうまくはいかない。an と a0, a1, ... , a(n-1) の交点の値は簡単に求めることができる。対角線の成分を反転させたものを使えばいいからだ。しかし、an と an の交点には1も0も置くことができない。an と an の交点が1なら an は自分自身を要素としてしまうから an と an の交点は0でないといけないし、逆の場合もパラドックスが起こってしまう。

ラッセルのパラドックスとは全体集合の中に「自分自身を要素として含まない集合の集合」をつくろうとしてもできないことを示していたのだ。

追記その3

全体集合が可算の場合は、ラッセルの集合は全体集合のなかに作れないことが分かった。しかし、全体集合が非加算だったらどうだろうか。しかし全体集合が非加算の場合、個々の要素をすべて列挙することができないため、上の議論のような演算表が作れない。全体集合が非加算の場合にラッセルのパラドックスが発生するかどうかは興味のあるところだ。

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by tnomura9 | 2016-05-05 04:48 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)

ラッセルのパラドックスの記事リスト

1. ラッセルのパラドックスと自己言及

集合の定義からものの集まり {a, b, c, ... } を集合 A と考えることで、それまで想定していた集合の要素以外に新しい「もの」である集合 A が発生してしまう。また、述語 P(x) を充足する要素 {a, b, c, ... } を集めて集合 A であると定義した時に同時にそれらの要素とは異なる集合 A という新しい要素が発生する。

この要素に述語 P(x) を適用(自己言及)した時に A が P(x) を充足する、すなわち、P(A) が真になる場合と、A が P(x) を充足しない場合、すなわち、P(A) が偽になる場合が発生する。

この際に、集合 A が P(x) を充足しない場合は A の外延的定義と P(x) による内包的定義は一致する。しかし、P(x) を充足するどのような要素を集めて集合 A を作っても A が P(x) を充足してしまう場合、集合 A を作ると同時に A には含まれない要素であるが述語 P(x) を充足する集合 A が発生してしまうため、内包的定義では集合を定義することができなくなる。「自分自身を要素として含まない集合」という述語はその典型例だ。

自分自身を要素として含まない集合、例えば「犬の集合」のようなものを適当に集めて集合 R = {a, b, c, ... } を作る。このとき R は R の要素としては含まれない。なぜなら R = {R, a, b, c, ... } としてしまうと、R は自分自身を要素として含む集合になってしまうからだ。したがって、R = {a, b, c, ... } の要素には R は含まれない。しかし、まさにその故に R は自分自身を要素として含まない集合になってしまう。

しかし {a, b, c, ..., } が自分自身を要素として含まない要素「全て」の集合でなければ、このような集合は普通に存在する。自分自身が要素として含まれないにもかかわらず、自分が自分自身を要素として含まない集合という述語を充足するという形は普通にありえる。しかし、どんなに多くの自分自身を要素として含まない集合を集めて集合を作っても、その集合自身は必ず自分自身を要素として含まないにもかかわらず、述語を充足してしまう。したがって、述語を充足する要素「全て」を集めた「集合」はつくることができない。

その場合、P(x) を充足する要素の全体というものを考えることは可能だがそれは「集合」ということはできず「クラス」になってしまう。「クラス」を無理に「集合」と考えるとラッセルのパラドックスが発生してしまう。

2. 素朴集合論の有向グラフモデル

素朴集合論については、集合をノードとし所属関係という有向エッジでノードをつないだ有向グラフとしてモデル化できる。これは集合を集めた集合 A に所属関係という二項関係 Ψ(x, y) を導入したものと捉えることができる。このモデルでは集合 a (∈ A) の外延は {x | Ψ(a, x) = 1} で表すことができる。

この有向グラフによるモデルの最大の特徴は、集合 A の要素数では、集合 A のすべての部分集合を代表させることはできないということだ。すなわち、集合 A の要素の外延として定義できる集合 A の部分集合は、集合 A のべき集合の要素のほんの一部分のみである。すなわち、集合 A は集合を作る操作について自己完結的ではない。

また、この二項関係についての不動点定理 --- f(Ψ(x,x)) = Ψ(a,x) なら f(Ψ(a,a)) = Ψ(a,a) --- により、集合 A には「自分自身を要素として含まない集合の集合」を表す要素を見つけることはできない。

このように、素朴集合論におけるラッセルのパラドックスは有向グラフの性質として捉えることができる。

3. ラッセルのパラドックスの記事リスト

自然数と実数の濃度差

素朴集合論からパラドックスを追い出す

クラス

集合の属性とは何か

図書館の書籍目録と排中律

内包的定義が自己言及しなければ問題は解決するか

図書館目録のパラドックス

素朴集合論の復権

集合の定義の再帰性について

素朴集合論と排中律

素朴集合論の正体

集合と排中律

集合論への疑問

素朴集合論はちっとも素朴ではない

対角線論法を斬る

ラッセルのパラドックスと再帰

ラッセルのパラドックスと排中律

『ラッセルのパラドックス』の要点

ラッセルのパラドックスの謎が解けた

ラッセルのパラドックス 圏論 不動点

自分自身を要素として含む集合

排中律

ラッセルのパラドックスの意味するもの

内包的定義の適用範囲

内包的定義の問題点 自己言及性について

ラッセルのパラドックス

パラドックスのトリック


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by tnomura9 | 2015-07-19 18:37 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)