一階述語論理とは何か

一般的には一階述語論理の上に集合論が構築されているが、その立場を逆転させると述語論理の意味が分かりやすいのではないだろうかと思いついた。述語論理が数学の基礎であると考えるのではなく、述語論理とは集合の性質の一つと考えたほうが矛盾がでないのではないかと思ったのだ。そこで次のような単純なモデルの例を考えてみた。

領域 D は対象 a, b, c, ... の集合であるとする。Dの要素に対し述語 A, B, C, ... が与えられ、Dの要素の一つ a と述語 A との対から命題 A(a) が作られる。A(a) は必ず真か偽の値を取り、排中律が成立するとする。A(a) が排中律を充足するかどうかは領域 D の構造によっているので、必ずしもいつも成立するわけではないが、一階述語論理は領域 D が排中律を満たす場合にのみ領域 D に適用される。つまり、一階述語論理は領域 D が排中律を満たす場合の法則で、万物の基礎とは考えない。

任意の対象を表す対象変数 x を導入すると、述語 A は命題関数 A(x) で表現することができる。命題関数 A(x) は領域 D を定義域とし、真偽値を値域とする1変数関数である。以下の議論では述語 A を命題関数 A(x) と同一視する。

領域 D の述語が排中律を充足するとき、A(a) が真であるような命題 A を充足する対象 a, b, c の集合を考えることができる。これを真理集合 A* とすると、A* は明らかに領域 D の部分集合である。また、命題関数を使うと A* = {x| A(x)}という内包的定義ができる。排中律が仮定されているので内包的定義には特に制限はない。つまり、命題関数による内包的定義は必ず真理集合を定義できる。

複数の原子述語 A(x), B(x) があるとき、原子述語は論理結合子によって C(x) = A(x) ∧ B(x) のような複合述語を作ることができる。C(x) もまた排中律を満たし、領域 D の述語である。原子述語 A(x), B(x) および論理結合子の性質から C(x) によっても真理集合 C* を定めることができる。この場合明らかに C* は領域 D の部分集合である。したがって、原子述語 A(x), B(x), ... と論理結合子によって無数の複合述語を作ることができるが、それらの複合述語の真理集合は全て領域 D の冪集合の要素である。つまり、論理結合子による複合述語の真理集合は、原子述語の真理集合の集合演算の値と一致する。

ところで、無限の原子述語や複合述語を考えることはできるが、その真理集合は必ず領域 D の部分集合である。したがって、命題の真理集合の集合の濃度は領域 D の冪集合の要素の濃度を超えることはない。そこで、述語 A(x) の真理集合が A* で、述語 B(x) の真理集合が B* であり、A* = B* のとき、述語 A(x) は 述語 B(x) と同等であるということにする。述語 A(x) と 述語 B(x) の同等関係は反射率、対象率、推移律を満たすので同値関係である。したがって、領域 D の全ての述語の集合は同等関係で類別できる。また、述語から真理集合への写像が全射の場合、述語の同値類と真理集合は全単射になる。したがって、述語の同値類と真理集合は同一視できる。

このことから、領域 D の全ての論理的操作は、領域 D の冪集合上の集合演算として表現できることがわかる。このことは、論理的操作が結局のところ領域 D の要素の分類作業にほかならないということを示している。言葉を変えれば、対象が領域 D の集合として限定され、かつ、領域 D の命題が排中律を満たすとき、領域 D には一階述語論理が適用され。その意味は領域 D の対象の分類作業であるということができる。領域 D が集合であることと、領域 D の命題が排中律を満たすという条件を満たさない場合、領域 D には論理を適用できず、領域 D は論理的ではない(論理の法則が適用できない)。

したがって、論理があらゆる数学的対象に適用できる理由が分かる。つまり、一階述語論理の議論は領域 D の要素の分類法について述べているだけであり、領域 D の命題の性質は排中律を除いて抽象化されてしまう。このため、多くの領域 D の無数の命題に対し一階述語論理による議論ができるのだ。

素朴集合の世界の領域を「帰属関係が定義された対象の集合」と考えた場合、「自分自身を要素として含まない集合の集合」という述語は排中律をみたさない。したがって、素朴集合には一階述語論理を適用できず、素朴集合の構造は論理的ではないことが分かる。一方、整数の場合は領域 D は集合であり、整数の演算についての議論は排中律を満たしているので論理が適用できるのだ。

ラッセルのパラドックスが発生するのはこのような素朴集合論の領域 D を「帰属関係が定義された対象の集合」という定義で対象のネットワークとして捉えた場合の特異な性質によるものであり、集合論の本質的な瑕疵とは言えないのではないだろうか(これについては、このブログの「集合 論理 クラス」という記事で議論した)。論理学を学ぶ上で一階述語論理を上のような観点で捉えれば、ラッセルのパラドックスについて最初に触れなくても論理学をきちんと組み立てる事ができるような気がする。論理は万能ではなく、領域 D に適用できるかどうかは領域 D の構造に依存しているのだ。


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by tnomura9 | 2017-08-09 06:40 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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