素朴集合論の拡張

個体の集合を領域 D とする。領域 D の要素である個体 a, b, ... には属性があり、述語 A はその属性を表すものとする。

個体と属性は対になって命題 A(a) を作るが、この命題には真偽値が割り当てられる。個体 a が述語 A という属性を持っていれば命題 A(a) は真であり、そうでなければ命題 A(a) は偽である。

述語 A との対で真になる個体の集合を A の真理集合といい A* で表す。真理集合 A* は領域 D の部分集合であり、領域 D のべき集合の要素である。

いま A と B という述語があり、その真理集合 A* と B* が等しければ、述語 A と述語 B は同等であり A ~ B で表す。同等な述語の真理集合は等しいので A と B は述語論理的に同一視することができる。すなわち、領域 D については、同等な述語を同一視することによって、そのべき集合の要素数に等しい述語しかないということができる。すなわち、領域 D の述語は真理集合で尽くされる。

領域 D の部分集合同士の集合演算による結合はやはり領域 D の部分集合である。したがって、論理演算は、領域 D のべき集合について閉じている。また、述語についてのすべての論理演算は真理集合の集合演算に翻訳できる。したがって、領域 D のすべての論理演算は領域 D のべき集合上で演算可能である。

そこで、適当なサイズの「互いに帰属関係を定義された個体の集合」を考えてこれを領域 D とする。また、領域 D のべき集合を T とする。領域 D が有限であればあきらかに T の要素数は D よりも大きい。また、領域 D に関する論理は T の要素の集合演算である。これは領域 D の要素である個体についての述語論理がすべて T の要素の論理演算に置き換えることができることを示す。すなわち、領域 D の論理は集合 T だと言える。

例えば、領域 D が {a, b, c} であったとする。そうして a = {a, b, c}, b = {c}, c = {a, b} だったとする。これは a, b, c 3つの個体で {a, b, c}, {c}, {a, b} という領域 D の部分集合を表している。しかし、{a, b, c} の個体についての述語すなわち T の要素は a, b, c の3つでは表せない。なぜなら T = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} だからである。一方 T の要素は D = {a, b, c} の要素についての可能なすべての述語を含んでいる。また、T の要素間の集合演算は領域 D のすべての要素についての論理演算を表すことができる。

このシリーズの記事で述べたように D =「帰属関係の定義された個体の集合」の要素では D のすべての部分集合の一部しか表現できない。したがって、D の要素に論理を適用しようとしても適用できない場合がある。しかし、D のべき集合である T なら余すところなく D の要素である集合についての述語論理を展開できる。したがって、D の述語論理については T で転嫁し、そのうち D の要素が表す集合として定義されているものには「集合」という名前を与え、その他の D の述語である T の要素については「クラス」と呼んで「集合」区別する。このとき T の要素は「集合」と「クラス」を合わせた「広義のクラス」と考えることができる。素朴集合論に対する述語論理は T の「広義のクラス」の上で余すところなく実現できる。このとき、「集合」と「クラス」の違いはなんだろうか。それは「集合」が D の要素の外延として定義できるのに対し「クラス」にはそのような定義がない。「クラス」はただ D の要素の述語としてだけ存在するというところだ。

このように素朴集合論の集合を「広義のクラス」に拡張することで、素朴集合論に述語論理を適用することができるようになる。例えばラッセルの「自分自身を要素として含まない集合の集合」という述語に対応する D の部分集合は、D の要素ではない T の要素として表現することができる。このクラスが自分自身を要素として含むかどうかの議論はできない。なぜならそれは T の要素ではあるが、領域 D の要素ではないため自分自身というものを持たないからだ。

素朴集合論の世界を D =「帰属関係の定義された個体の集合」と考えたときは表現力の不足から述語論理が適用できないが、これを D のべき集合である T に拡張することで述語論理を余すところなく適用できることがわかる。

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by tnomura9 | 2017-08-01 21:58 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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