述語論理とは何か

1変数命題関数の述語論理と集合との相性がよさそうだったので、それを利用して述語論理とは何かを考えることができるのではないかと思いついた。そこで、述語論理を個体の集合に適用することを考えてみた。このときにリアルワールドの個体とそれを指し示す記号である論理の世界を分けて考えるのが分かりやすい。

まず、述語論理を適用するリアルワールドの個体の集合を領域 D とする。そうして、D の要素である個体を表す記号を個体定数 a, b, c, ... とする。領域 D と個体はリアルワールドに属しているが、個体定数は記号の世界に属する。個体定数は個体ではないが、個体の名札のようなもので、個体の記号(表現)である。

つぎに個体にはいろいろな性質(属性)がある。「ソクラテスは人間である」という場合、ソクラテスは個体であり、人間であるというのは個体の属性である。個体と属性の組み合わせは一つの主張を表している。これを命題という。この例の場合ソクラテスが人間であれば、命題は真であり、そうでなければこの命題は偽である。ソクラテスが人間かどうかというのは明らかにリアルワールドでの問題だ。

このリアルワールドの属性にはさまざまなものがあるのでそれを記号 A, B, C, ... で表すことにする。A, B, C, ... は個体の性質につけられたラベルである。これらは、記号の世界に属しているので、これを述語と呼ぶことにする。個体と述語の組み合わせは一つの主張を表すのでこれを A(a) で表し、これをリアルワールドの命題と同一視して命題と呼ぶ。この場合の命題は記号の世界の文字列であるが、リアルワールドの命題と同じ命題と呼んでも混乱はないだろう。

述語と個体の組み合わせは A(a) に限られない。A(b), A(c), ... などいろいろな個体との組み合わせが考えられる。そこで、特定の個体ではないが一つの個体を表す記号として個体変数 x, y, ... を考え、これを個体変数と呼ぶことにする。個体変数を使った命題 A(x) は命題ではなく、x というプレースホルダーを個体定数で置き換えたときに A(a) のような命題となる。これを命題関数と呼ぶ。

命題関数 A(x) は特定の命題を表してはいないが、個体定数を代入することによって様々な命題を作り出すことができる。これらの命題が指し示すリアルワールドの命題はあるときは真になり、あるときは偽となる。記号列としての A(a) の真偽はそれが指し示すリアルワールドの命題の真偽と一致する。そこで A(x) を真にする個体だけを集めると、それは D の部分集合になる。したがって、命題関数 A(x) はこの部分集合を表していると考えることもできる。この個体の集合は述語 A と組み合わされると真な命題を作る個体の集合であるから、これを A* であらわし、述語 A(x) の真理集合と呼ぶことにする。

ここで、もう一度リアルワールドと記号の世界の区別をはっきりしておく。領域 D や、 個体や、個体の属性や、リアルワールドの命題はリアルワールドの世界に属している。また、個体記号や、述語や、命題や、命題関数は記号の世界に属している。このように両者の境界をはっきりさせることでその関係性が明確になる。

例えば A(a) という記号世界の命題には真偽値を問うことができるが、その真偽値を決定するのはリアルワールドの個体と述語の関係性である。したがって、A(a) という命題が真であるか、偽であるかはリアルワールドの問題だ。述語論理学では命題変数 A(x) の個体変数 x を個体記号 a で置き換えたものが必ず真であるか偽であるという排中律を想定しているが、排中律が存在しているかどうかは、命題関数 A(x) ではなくリアルワールドの構造による。言い換えれば排中律が成立していないリアルワールドの個体には述語論理を適用できない。素朴集合論に述語論理を適用させようとするとパラドックスになるのは述語論理の問題ではなく、素朴集合論の世界を「帰属関係の定義された個体の集合」と定義するときのリアルワールドの構造の問題だ。この意味でラッセルのパラドックスは述語論理の矛盾を示しているわけではない。

また、リアルワールドには多種多様の属性があり、それに対応する命題があるが、命題の真偽値を問う述語論理の立場からは様々な述語 A(x) が定める真理集合 A* の数は限られてくる。すなわち、領域 D の冪集合の要素の数を超えることはない。リアルワールドの多様な述語も述語論理の立場からは、真理集合が同じであれば同じ命題として扱うことができる。したがって、リアルワールドへの述語論理を適用するには、実質、領域 D の冪集合の要素数の述語があれば十分である。

ところで、述語論理には要素命題を結合して複合命題を作るための論理結合記号がある。要素命題を結合して作られた複合命題もやはり命題である。また、述語 A(x), B(x) に論理結合記号を適用した A(x) -> B(x) のような複合的な述語も個体変数を置き換えることで命題になり真偽値を問うことができるのでその真理集合がある。さらに、その真理集合は領域 D の部分集合である。したがって、領域 D の冪集合の要素を表す真理集合の記号 A*, B*, ... の集合は論理結合記号について閉じている。詳しい議論は述べないが、このことは領域 D の冪集合が集合演算について閉じていることと同値である。

このことから1変数命題関数の述語論理は、領域 D の冪集合の集合演算と同値であることが分かる。すなわち、領域 D についての全ての論理的操作は、その冪集合の要素間の集合演算に翻訳できることがわかる。

1変数命題関数を含む述語論理は何かという問いに対しては、領域 D の冪集合の要素に集合演算を適用することだと答えることができる。すなわち、個体の集合である領域 D があるとき、述語論理的には領域 D のべき集合の要素は、領域 D の述語の真理集合を表す。また、領域 D の述語に関する論理的な操作は、べき集合の要素の集合演算と同一視できる。ただし、これが成立するためには述語と個体からできる命題 A(a) について排中律が成立する必要がある。これについては、述語論理の問題ではなく、領域 D の構造の問題になる。

[PR]
by tnomura9 | 2017-08-01 06:23 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
<< 素朴集合論の拡張 1変数述語論理と集合 >>