論理と集合

論理とは集合演算のことだ。従って、ある数学的対象について、その全ての部分集合を表現できない理論では、その数学的対象に論理を適用することができない。

素朴集合論の場合、集合の世界を「帰属関係の定義された対象の集合」と定義したために、その対象の集まりの全ての部分集合の一部分しか表現することができない。このため、素朴集合論には論理を適用することができない。前回の記事で述べたように、素朴集合論にラッセルのパラドックスが発生したのは、「帰属関係の定義された対象の集合」では、その対象の集合の全ての部分集合を表現できないからだ。

一方で自然数の集合について考えてみる。自然数の集合の冪集合は0以上1未満の実数と全単射を作ることができる。従って、自然数の集合についての集合演算は実数の上で全て記述することができる。このような場合、自然数の集合には論理が適用できるのだ。つまり、自然数は奇数かまたは偶数であるという論理的な推論は、自然数の集合を N、奇数の集合を O、偶数の集合を E としたとき、

N = O ∪ E かつ O ∩ E = ∅

のように集合の言葉で表現することができる。また、数学的帰納法についても、述語 P(x) について

P = {x | P(x)}

とすると、

1 ∈ P かつ (k ∈ P ならば k+1 ∈ P)

であるとき、ペアノの公理から、

1 ∈ N かつ (k ∈ N ならば k+1 ∈ N)

なので

1 ∈ N ならば 1 ∈ P

である。また k が 1 以外の自然数のときは、k ∈ N のときは 1 から始めて k に至るまでの数がみな N の要素であることがわかるが、同様に 1 から k までの数が P の要素であることもわかるので、

k ∈ N ならば k ∈ P

したがって、

N ⊂ P

となる。また、明らかに P ⊂ N なので、結局

N = P

となり述語 P(x) を充足する自然数の集合は全ての自然数の集合であることが分かる。

このように自然数の集合については、その冪集合の存在が保証されているので、論理を集合の関係として論じることができる。ところが、「帰属関係の定義された対象の集合」ではその集合の冪集合を全ては表現できないためその全ての集合演算を論理として記述することができない。

ある数学的対象に論理と集合を適用させたいと考える場合は、最低その対象の部分集合の全て、すなわち冪集合が存在することが必要条件なのだ。素朴集合論のラッセルのパラドックスを回避するために、集合に様々な公理による規則を適用することによって、数学的対象に集合と論理を共存させようと試みられているが、もっと単純に、その数学的対象をその全ての部分集合を表現できるような体系に構築するというアプローチも考えることができるのではないだろうか。

たとえば反復的集合観という考えが ZFC 集合論のモデルになるらしい。詳しくは「反復的集合観と公理的集合論」というページに紹介してあるが、要するに、空集合から初めて、その段階的にその集合のべき集合の要素を付け加えて集合を増やしていく方法だ。この手続を引用すると次のようになる。

  • 段階0: 何もない。
  • 段階1: 段階0までの集合を要素とするあらゆる集合を考えて、それらを追加する。
  • 段階2: 段階1までの集合を要素とするあらゆる集合を考えて、それらを追加する。
  • 以下同様。

  • この方法なら、どの段階の集合の要素も、前の段階の集合の全ての部分集合を表現することができる。言葉を変えると前の段階の集合を論理的に扱うことができる。他の数学的対象も同じようなやり方で論理化できるのではないだろうか。

    ラッセルのパラドックスを回避するために集合とは何かという議論が変に難しくなってしまっているが、ラッセルのパラドックスの発生原因が集合の世界を「帰属関係の定義された対象の集まり」と定義する方法の不完全さによる副産物であると考えると、集合を素朴に捉えながら同時に論理的にも扱いやすいように説明できるのではないだろうか。

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    by tnomura9 | 2017-07-16 12:09 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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