ラッセルの集合(クラス)の存在証明

素朴集合論の世界を「帰属関係の定義された対象のあつまり」と捉える方法では、ラッセルのパラドックスによって「自分自身を要素として含まない集合の集合」が矛盾を起こすことを示す。

いま、「帰属関係の定義された対象」a, b, c, ..., が無限に存在するとする。そこで、a, b, c, ..., を縦横に並べて行の対象が列の対象を要素として含まないときに 0, 行の対象が列の対象を要素として含むときに1となるような演算表を考える。すると、この演算表の行に現れる数列、たとえば 0, 1, 1, .., などは対象 a, b, c, ... の集合の部分集合を表している。すなわち、各行の a, b, c, ..., の外延である a, b, c, の集まりは、演算表の行の数列で表されることが分かる。

このとき、演算表の対角線部分はある対象が自分自身を要素として含むか含まないかを表す。対角線部分の数が 0 であればそれは対応する対象が自分自身を要素として含まないことを示し、1 であれば対応する対象が自分自身を要素として含むことを示す。そこで、対角線部分が0であれば1、1であれば0となるような数列を考えると、これは a, b, c, ..., の集まりの部分集合である。また、これは「自分自身を要素として含まない集合の集合」を表している。しかし、この集合は演算表の中に現れることはない。それは、対角線部分で演算表のどの行の集合とも異なるからだ。

このことをラッセルのパラドックス風に表現することもできる。そのような集合に対応する対象を r とする。この r の対角線部分の値は 0 とも 1 とも言うことができない。なぜならば、r の対角線部分が 0 であれば、r は自分自身を要素として含まない集合であるので、r に含まれるすなわち r の対角線部分は 1 でなければならないので矛盾するし、r の対角線部分が 1 であると仮定してもやはり矛盾するからである。従って、このような r は演算表に現れる事はできない。

以上の議論は、しかし、自分自身を要素として含まない集合の集合が存在しないことを意味しない。なぜなら、対角線部分を反転させてできる数列は明らかに a, b, c, ... の部分集合を表しているからだ。ただし、この部分集合は「帰属関係を定義された対象の集まり」の中に含まれることはない。すなわち、a, b, c, ... からなる集合全てを表現するには「帰属関係を定義された対象の集まり」では表現力が不足していることを示している。「自分自身を要素として含まない集合の集合」はこのような対象の内部には見つけられないが、このような対象の集まりの外部には表現可能なのである。

実際、a, b, c, ... の一つの部分集合は 0.0101.. のような0以上1未満の2進数の無限小数との全単射を作ることができる。この全単射関係によって a, b, c, ... の全ての部分集合の集合演算を0以上1未満の実数軸の上で考えることができる。ただし、上に述べた演算表ではその全てを表現することができない。ラッセルのパラドックスはこの穴ぼこだらけの演算表に現れた現象を示しているにすぎないのだ。

このような演算表に現れない a, b, c, ... の部分集合を集合ではなくクラスと呼ぶことにすると、演算表上の部分集合と演算表には現れない部分集合であるクラスとで a, b, c, ... の全ての部分集合をカバーすることができるため、集合の世界に矛盾なく論理を導入することができる。「帰属関係の定義された対象のあつまり」は表現力の不足から論理が構築できないが、集合というものの集まりをクラスにまで拡張することで全ての集合演算を行うことができる。

集合の世界に論理を持ち込むには、集合とクラスをあわせた広義のクラスが必要なのだ。

追記

「自分自身を要素として含む集合」や「自分自身を要素として含まない集合」は集合本来の概念とは異なるのではないだろうか。それは集合の世界を「帰属関係の定義された対象の集まり」という対象のネットワークで表現した方法による副産物のような気がする。そのため、上で議論したような表現力の不足する集合の世界が生まれてしまったのではないだろうか。だから、公理的集合論のような複雑な規則で縛られた公理体系よりもっとシンプルで論理とも相性の良い集合論があるような気がする。単なる直感的な印象だが。

追記その2

集合 a, b, c, ... の全ての部分集合を表すのに「帰属関係の定義された対象の集まり」では表現力不足であることは分かったが、それではそのような集合のネットワークから漏れた a, b, c, ... の部分集合は一体どれほどあるのだろうか。これは a, b, c, ... の部分集合が0以上1未満の実数と全単射で対応することを利用すると分かる。a, b, c, ... の外延に対応する a, b, c, ... の部分集合をそれぞれ 0 以上 1 未満の実数に対応させると、それは小さい方から整列させることができる。もちろん、a, b, c, ... は無限にあるのでこの操作は無限に終わらない。しかし無限に整列操作が行われていてもその整列された無限集合の隣り合う2つの実数は異なる実数である。ところが、実数の性質から相異なる2つの実数の間にはその2つの実数と異なる実数が存在する。つまり、「帰属関係の定義された対象のあつまり」で表現できない a, b, c, ... の部分集合は無限に存在することがわかる。

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by tnomura9 | 2017-07-08 06:10 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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