集合の表現力とラッセルのパラドックス

集合 a, b, c を集めた集合の集合 A = {a, b, c} を考えてみる。素朴集合論では集合の世界は「帰属関係の定義された対象の集まり」と考えるから、a, b, c の間には帰属関係があると考える。たとえば、a = {}, b = {a}, c = {b} であるとする。この場合の a, b, c の帰属関係を演算表にすると次のようになる。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0

ところで、A = {a, b, c} の全ての部分集合を集めた A のべき集合 B は、B = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} である。したがって、A = {a, b, c} に帰属関係を定義することによっては、A において発生可能な集合全てを表現するには圧倒的に表現力が不足してしまうのだ。したがって、集合 A は集合演算に対して閉じていない。たとえば b ∩ c = {a, b} であるが、この集合は上の演算表には現れない。

集合についての集合演算とは集合の論理であるから、上の例は、集合 A の要素には論理を適用することができないことを意味している。集合 A に論理を適用するためには、その冪集合 B を作り、B の要素のうち A に現れないものは集合ではなくクラスとして取り扱う事によって、集合Aの表現不足を補わなくてはならない。

例えば上の演算表の対角線部分は、a, b, c が自分自身を要素として含むかどうかを示している。上の演算表では対角線部分は全て0だから、a, b, c は全て自分自身を要素として含まない集合である。従って、この「自分自身を要素として含まない集合」の集合は {a, b, c} であるが、上の演算表では {a, b, c} を表現することはできない。これをクラスとして集合ではない集合として取り扱うのだ。

「集合とは帰属関係の定義された対象である」という素朴集合論の定義では、このように集合についての表現力が不足している。したがって、素朴集合論の世界に論理を適用することはできないのである。素朴集合論の世界に論理を適用できるようにするためには、その冪集合を考え、素朴集合論の世界に現れない冪集合の要素はクラスとして補う事によって、論理を適用させなければならない。

この方法なら、「自分自身を要素として含まない集合の集合」は存在しないが、「自分自身を要素として含まない集合のクラス」は存在しそれは {a, b, c} であるということができる。

素朴集合論に現れるラッセルのパラドックスのような矛盾は、集合の世界を「帰属関係の定義された対象の集まり」と定義することによる本質的な表現力不足が原因だったのだ。

[PR]
by tnomura9 | 2017-07-07 05:58 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
<< ラッセルの集合(クラス)の存在証明 冪集合と論理 >>