集合 論理 クラス

素朴集合論の世界は「帰属関係が導入された対象の集まり」としてモデル化できる。しかし、このモデルには残念ながら論理は適用できない。ここでいう論理とは、排中律(補集合)を含む集合演算のことである。

素朴集合のモデルである「帰属関係が導入された対象の集まり」では、帰属関係から、対象にその外延という対象の集まりを定義できるが、対象の集まりの部分集合を全て表現するためには対象の数が足りない。これは対象の集まりが有限のときは自明である。N個の対象に対し、その冪集合の要素は2^N個あるからだ。

たとえば {a, b, c} という集合の部分集合を全て挙げると次のようになる。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0
d 1 1 0
e 0 0 1
f 1 0 1
g 0 1 1
h 1 1 1

この演算表の各行の数列は、その対象が各列の対象を要素として含んでいるかどうかを表している。たとえば、対象 c では 0 1 0 だから、c は対象 b だけを要素として含んでいる。すなわち c = {b} である。

{a, b c} の考え得る全ての部分集合は各行の a, b, ..., h という対象で表されている。たとえば {a, b, c} の対象全てを要素とする対象は h である。

ところが、この演算表の行に現れる対象は {a, b, c} の中には現れないものがある。すなわち、c, d, ..., h は {a, b, c} の中には現れない。素朴集合の世界を「帰属関係を導入された対象の集まり」と捉えると、上の演算表で言えば、{a, b, c} の素朴集合の世界は次のような対称な演算表で表される。これには c, d, ..., h は含まれない。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0

この場合 a = {}, b = {a}, c = {b} だが、素朴集合の世界を「帰属関係の定義された対象の集まり」で表す対称な演算表はこれに限らない。次のようなものでもいいのだ。

** a b c
a 1 0 1
b 0 1 1
c 1 0 0

この場合は a = {a, c}, b = {b, c}, c = {a} である。どのような対称な演算表にするかは、どのような集合を扱いたいかによって選択すればいいのだ。

ただ、対称な演算表は {a, b, c} の全ての部分集合を表す事ができないので、この演算表では集合演算を定義できない。たとえば上の演算表で言えば a ∩ b = {c} であるが {c} を表す対象はこの演算表には存在しない。

しかし {a, b, c} に加えて d, e, .., h という対象を加えると {a, b, c} の全ての部分集合について集合演算を定義することができる。上の演算では a ∩ b は存在しなかったが、拡張された対象では a ∩ b = e となる。ただし e は {a, b, c} には含まれないので e を集合と呼ぶわけにはいかない。e は集合ではないが集合に準じるものなのでクラスと呼ばれる。

論理とは集合演算のことである。しかし集合の世界を「帰属関係の導入された対象の集まり」と定義すると、その定義の表現力不足から集合演算を適用できない場合がでてくる。この困難は集合に加えてクラスという拡張を行い、集合演算はクラスをふくむ対象の集まりに適用することで論理(集合演算)との整合性をもたせることができる。集合とクラスを含めて広義のクラスという対象と考えると広義のクラスの集まりには論理(集合演算)を定義できるのだ。

例えば集合の演算表が次のような場合、

** a b c
a 1 0 1
b 0 1 1
c 1 0 0

自分を要素として含まない集合の集合は 0, 0, 1 であってこの対照な演算表による集合の世界には現れないがクラスの世界では e = {c} として表現できる。

素朴集合論の世界を「帰属関係の導入された対象の集まり」として定義すると、それに論理(集合演算)を適用するためには、それをクラスの世界に拡張する必要があるのだ。

ここで述べたのは有限集合についての議論だったが、無限集合についても基本的には成り立ちそうなのは、無限の対称な演算表についても対角線論法によってラッセルのパラドックスが発生することからも分かる。

素朴集合論の最大の困難はその世界に論理が適用できないということだった。しかし素朴集合論の世界を広義のクラスに拡張すればそこには論理(集合演算)が適用できることが分かる。

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by tnomura9 | 2017-07-04 06:25 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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