実数と自然数の冪集合

素朴集合論の世界を「帰属関係の定義された対照の集まり」と考えると、不動点定理からラッセルのパラドックスが発生することを前回の記事で述べた。したがって、このモデルでは対象の全ての帰属関係を表現できないので、集合の演算を定義できない。集合の演算が定義できない集合が発生してしまうからだ。

しかしながら、「帰属関係の定義された対象の集まり」というモデルは、集合の集合のようなものもうまく表現できるので捨てがたいものがある。また、自分自身を要素として含む集合や、自分自身を要素として含まない集合のようなものの対角線部分の値として表現できる。なんとかこれに集合の演算を導入できないものだろうかと考えてみた。

たとえば、集合 {a, b, c} の全ての部分集合を集めると次のようになる。

** a b c
0 0 0 0
1 1 0 0
2 0 1 0
3 1 1 0
4 0 0 1
5 1 0 1
6 0 1 1
7 1 1 1

各行の 0 1 0 などの数列はそれぞれ {a, b, c} の部分集合をあらわしている。たとえば 0 1 0 は対象 b だけが含まれるので {b} である。また、6行目の 0 1 1 は対象 b, c が含まれるので {b, c} である。これらの部分集合を対象 a, b, c の外延として考えると次のような対照な演算表を作ることができる。

** a b c
a 1 0 0
b 0 1 1
c 0 1 0

ただし、{a, b, c} の部分集合は8個あるのに、この演算表ではそのうちの3個しか a, b, c という対照の外延として表現できないのでこの演算表では全ての {a, b, c} の部分集合を表すことはできない。したがって、この演算表の対角線部分を反転させた、0 0 1 すなわち {c} はこの演算表にはどうしても現れない。対角線部分で a, b, c のどの外延とも一致しないからだ。また、この集合はあきらかに「自分自身を要素として含まない集合の集合」である。

ここで、上の演算表とは異なるつぎのような演算表も考えてみる。

** a b c
a 0 1 0
b 1 1 0
c 1 0 1

この場合は対角線を反転させた部分集合は 1 0 0 すなわち {a} である。これは、この演算表における「自分自身を要素として含まない集合の集合」であるが、先程の演算表の {c} とは異なっている。つまり、「自分自身を要素として含まない集合の集合」とは {a, b, c} の特定の部分集合ではなく、演算表の内容によって変化する。「自分自身を要素として含まない集合の集合」という定義は演算表に依存し、特定の集合を定義するものではないのだ。このようなモデルに集合演算が定義できないのは明らかだ。

ところで、最初に挙げた 3 列 8 行の演算表を眺めてみよう。演算表の縦の自然数 0 .. 7 は {a, b, c} の部分集合と全単射で対応しているのは明らかだ。したがって、{a, b, c} の集合演算は {0, 1, .. , 7} の中で完全に定義できる。例えば {a, b} ∩ {b, c} = {b} は 3 ∩ 6 = 2 と表現できる。

このように、{a, b, c} の部分集合を a, b, c で表すことはその一部分しか表現できないが、{a, b, c} の部分集合を 0 .. 7 に全単射で対応付けることによってその集合演算を過不足なく表現することができる。

同じようなことが自然数の部分集合についてもできないだろうか。

たとえば自然数 1, 2, ... に対してその自然数が要素として含まれていれば 1 含まれていなければ 0 となるような無限数列 0 1 0 1 1 ... のようなものを考えてみる。そうしてこれを2進数の小数に対応づけてみる。すると 0 1 0 1 1 ... は 0.01011 ... のような無限少数に対応する。この方法をつかうと自然数の部分集合はこの無限小数の一つと全単射で対応することが分かる。この無限小数の小数点下を調べれば、自然数の部分集合にどの自然数が含まれているかを知ることができるし、自然数の部分集合が異なっていれば、それに対応する無限少数も異なるからである。

つまり、自然数の部分集合は0以上1未満の全ての実数に全単射で対応していることが分かる。従って自然数と0以上1未満の実数との対照表を作れば、自然数の全ての部分集合の演算を実数の演算として表現することができる。

それでは、そのような演算表に「自分自身を要素として含まない集合の集合」は表現できるのだろうか。残念ながらこれはできない。演算表の各行は 0以上1未満の数なのでその中には自然数は1つも含まれていないからだ。

このように、「帰属関係の定義された対象のあつまり」としての対象的な演算表では全ての部分集合を表現できないし、対象の全ての部分集合と実数との対照表を作っても今度は、自分自身を要素として含まない集合などの情報が抜け落ちてしまう。素朴集合論の定義で集合の世界を閉じ込めようとしてもなかなか悩ましい問題がある。

素朴集合論の世界に論理を導入しようとしても、帰属関係による演算表では全ての部分集合を表現できないし、対象の全ての部分集合を実数に閉じ込めると、論理との整合性は取れるが、今度は「自分自身を要素とする集合の集合」というような情報が抜け落ちてしまう。集合と論理の関係を取り持つのはなかなか難しい。



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by tnomura9 | 2017-07-03 04:43 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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