帰属関係と素朴集合論

前回の記事は、「集合とは対象の集まりという対象である」という定義から素朴集合論の世界を眺めてみたが、今回はもう一つ別の観点から素朴集合論の世界を眺めてみたい。それは対象と対象の帰属関係という観点から素朴集合の世界を考える方法だ。

集合の世界の対象の間には帰属関係という二項関係が存在する。a ∈ B は対象 a が集合 B に属するという帰属関係を表している。しかし、素朴集合論の世界では集合も一つの対象として扱われるからこの帰属関係は a ∈ b というような対象と対象の間の二項関係と考えることができる。従って素朴集合の世界は対象と対象の間に帰属関係が存在するような対象の集まりと考えられる。

対象 a は b に属するか、属さないかのどちらかなので、帰属関係は2変数関数で {0, 1} の2値をとると考えられる。すなわち、∈ :: {a, b, c, ... } x {a, b, c, ... } -> {0, 1} という型の関数である。この2変数関数の値は次のような演算表で計算することができる。記述を簡単にするために対象が {a, b, c} であるような集まりを考える。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0

このとき帰属関係を表す関数を ψとおくと。ψ(a, a) = 0, ψ(a, b) = 0, ψ(a, c) = 0, ψ(b, a) = 1, ... となる。この表で行の対象が列の対象を含んでいるときに 1, 含んでいないときに 0 であるとすると、a の行の数列 0 0 0 は一つの集合を表す、すなわち a = {} である。また、b = {a} であることも分かる。

ここで、この行の対象を固定すると g(x) = ψ(a, x) という対象の1変数の関数を考えることができる。このとき、g(a) = ψ(a, a) = 0, g(b) = ψ(a, b) = 0, g(c) = ψ(a, c) = 0 である。すなわち g(x) は集合 a がどの対象を含んでいるかを示しているのでこれを ga(x) と書くことにする。同様に gb(x) = ψ(b, x), gc(x) = ψ(c, x) も考えることができる。ga(x) = ψ(a, x) のとき a は ga(x) のインデックスであるという。ga(x) が集合を表しているとして、a はその集合のラベルになっているからだ。

さらに対角関数というものも考える ⊿(x) = ψ(x, x) だ。これは上の演算表の対角成分を表すから、⊿(a) = 0, ⊿(b) = 0, ⊿(c) = 0 である。

最後にこの⊿関数と適当な関数 f(x) を使って関数 h(x) を定義する例えば f(0) = 0, f(1) = 1 を使うことにすると、h(x) = f(⊿(x)) = f(ψ(x,x)) だから、h(a) = f(ψ(a,a)) = f(0) = 0。同様に h(b) = 0, h(c) = 0 になる。このとき、h(x) の振る舞いをみると h(x) = ga(x) になることが分かる。

同様に j(0) = 1, j(1) = 0 を使って i(x) = j(⊿(x)) と定義すると i(a) = 1, i(b) = 1, i(c) = 1 となって演算表から作った ga(x), gb(x), gc(x) のどれとも一致しない。

ところで、素朴集合論の世界で対象が全て集合であるものを考える。このとき、全ての対象は他の対象との間の帰属関係があるのでこれを ψ(x, y) とする。ここで f(0) = 1, f(1) = 0 という関数をつかって g0(x) = f(⊿(x)) = f(ψ(x,x)) という関数を定義する。g0 は対象についての1変数関数であるから、インデックスとなる対象 a0 を持っているはずである。すなわち g0(x) = ψ(a0, x) である。このとき次の等式が成立する。

f(ψ(a0, a0)) = g0(a0) = ψ(a0,a0)

これは、ψ(a0, a0) が 関数 f の不動点となり、f を関数適用しても値が変化しないことを示している。

ところが、ψ(a0, a0) は 1 か 0 の値をとるが、f(1) = 0, f(0) = 1 のはずなのでこれは上の結論と矛盾する。なにが行けなかったのかというと、対象の1変数関数に全てインデックスが存在するという仮定が間違っていたのだ。上の具体例でも i(x) と同じ振る舞いをする ga(x), gb(x), gc(x) は存在しない。

実際集合 {a, b, c} とその冪集合との対応表は次のように対称行列にはならない。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0
d 1 1 0
e 0 0 1
f 1 0 1
g 0 1 1
h 1 1 1

素朴集合論の世界が帰属関係という対称な演算表で表現できる場合、不動点定理は成立しなくてはならない。従って素朴集合論の世界はこのような対称的な演算表では表現できない事がわかる。対象の集合とその冪集合とのボタンの掛け違いは対象の数を無限に増やしたとしても解消できないのだ。

素朴集合論の世界のモデルを対称な演算表ではなく上のような縦長の表を使って構築したとき、論理との整合性を取っていけるのかどうかは興味のあるところだ。




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by tnomura9 | 2017-06-30 01:20 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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