ラッセルのパラドックスと素朴集合論の世界

素朴集合論の定義では「集合とは物のあつまりという物である」として集合を一種の物として扱う。そこで、物としての集合を集めて A としてみる。Aの要素である集合はなにかの物の集まりを代表しているが、それは、他でもない A の部分集合である。これが、素朴集合論の世界である。

有限集合の場合について言えば、N個の物の集合Aがあるとき、その部分集合の数は2^N個ある。したがってA の要素でAの部分集合を代表させようとすると個数が必ず不足するので、Aの部分集合の一部しかAの要素で代表させることはできない。

例えば {a, b, c} の部分集合は {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} の8個だ。これらは次のような表に表すこともできる。各行は {a, b, c} の部分集合で、列の 1 と 0 はその列の要素が部分集合に含まれているかどうかを表す。

** a b c
0 0 0 0
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 1 1 0
5 1 0 1
6 0 1 1
7 1 1 1

これらの集合を {a, b, c} の要素に対応させると次のような正方行列になる。

** a b c
a 0 0 0
b 1 0 0
c 0 1 0

a, b, c に対応させる集合はなんでもいいので、

** a b c
a 0 1 1
b 1 0 0
c 1 0 1

のようなものも考えられる。いずれにせよ {a, b, c} で代表できる部分集合は8個あるうちの、上のような正方行列に収まる3個しかない。{a, b, c} の部分集合を a, b, c で代表させようとしても正方行列の窓から見える3個の部分集合しか扱えないのだ。

これは物の集合の要素数がどのように大きくなっても変わらない。「集合とは物の集まりという物である」という素朴集合論の集合の定義では、集合を表す「もの」の数をどのように大きくとっても、その冪集合の一部分としか対応させることができないのだ。

このような状況で、「自分自身を要素として含まない集合の集合」のような自己言及的な定義で集合を定義しようとすると、その集合はうえに述べた正方行列の対応表に載せることができない。対応表の集合をどのように選んでもその集合は対応表の外にしか見つけられないからだ。

たとえば、対応表が

** a b c
a 0 1 1
b 1 0 0
c 1 0 1

の場合「自分自身を要素として含まない集合の集合」は対角線部分を反転させた 1 1 0 すなわち {a, b} になるがこれはどの行の集合とも対角線で異なっている。このような集合はどのような場合も正規行列の対照表からははずれることになる。これが対角線論法の本質なのだ。

集合を物として表現したとき、必然的にその物をふくむ冪集合が発生するが、その量は常に集合の物全体よりは大きいのだ。この関係は集合を1個の「もの」と考える素朴集合論では必ず発生する現象だ。そうして、それは不可解なラッセルのパラドックスが発生する母体になっている。

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by tnomura9 | 2017-06-29 13:57 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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