無限集合とは何か

自然数の集合は無限集合だ。つまり、自然数の集合の要素数は無限だ。しかし、その要素はどれも有限の値をとる。自然数の集合の要素に無限大はない。

それでは、自然数の集合の冪集合についてはどうだろうか。次のようにすれば自然数のべき集合を網羅的に作ることができる。自然数の数列 1, 2, 3, ... を2進数の1桁目、2桁目、3桁目に対応させる。そうして自然数の部分集合が 1 を要素として含んでいれば2進数の1桁目を 1 とし、含んでいなければ 0 とする。同様に 2 が含まれていれば2桁目の値が1に、2が含まれていなければ2桁目が0というように、2進数の無限桁にいたるまで各桁に0または1を割り当てると、その2進数は任意の自然数のべき集合と全単射の関係になる。ただしべき集合が無限集合の場合2進数も無限になってしまう。

自然数のべき集合についても、自然数の場合と同じように無限の要素を含むがその要素自体は有限集合だと考えることができれば、上のべき集合の列挙の仕方は成り立つ。任意の有限のべき集合はそれに対応する2進数を持ち、任意の2進数が異なっていればそれに対応するべき集合の要素も異なるからだ。

ところが、自然数のべき集合の要素の中には無限集合も存在すると考えられる。たとえば、1を含まず他の全ての自然数を含む集合は無限集合だ。この場合はこの集合に対応する2進数を求めようとするとそれは無限大になってしまう。

しかし、この1を含まず他の全ての自然数を含む集合について考えてみると奇妙な現象に気がつく。1を含まず他の全ての自然数を含む集合を同定してみよう。つまり、1を含まず無限にいたるどこかの自然数を含んでいない集合との区別ができるかどうかである。つまり、ある集合が1と100万を含んでいなければ、これは1を含まず他の自然数を全て含む集合との区別ができる。しかし、自然数を100万まで数え上げないとその差を知ることができない。それでは1と無限大を含まない集合はどうだろうか。無限大とは数ではなく、自然数が次々に拡大していく運動のようなものだから1と無限大を含まない集合と1以外の全ての自然数を含む集合との区別ができない。

つまり1を含まずそれ以外の全ての自然数を含む集合とは、個体として識別することが不可能な集合なのだ。{1}は明らかに他と区別することのできる集合だ。しかし、1を含まずその他の全ての自然数を含む集合とは実は個体として取り出すことが不可能なのである。

1を含まずその他の全ての自然数を含む集合とは、自然数の集合に集合演算である補集合を適用したために発生する集合だ。しかし、自然数の集合に補集合の演算を適用するのは不適切な場合、1を含まずその他の自然数を全て含む集合を考えることはできない。このような集合を自然数のべき集合の要素として認めたうえで自然数の集合との全単射を考えるというのははたして適切な議論だろうかという疑問が沸いてくる。何か大切な要点を無視しているのではないかという印象だ。

数学者ではないので見当はずれな議論かもしれないが、何となく無限集合についての納得がいかない感じが残る。



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by tnomura9 | 2017-06-17 15:29 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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