無限集合ではすべての要素を考えることはできない

無限集合に関してヒルベルトの無限ホテルのパラドックスというものがある。

無限に部屋を持つホテルが満室の時、新たな客を受け入れられるというパラドックスだ。新たな客を1号室にいれ、1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室にという操作を無限に行えば新たな客を受け入れることができる。満室(これ以上は客を受け入れられない)にも関わらず、上の手順で新規の客を受け入れることができる。これが満室なら新たな客は受け入れられないという直感に反するためパラドックスと呼ばれている。

これについては、しかし、無限に部屋を持つホテルは決して満室にならないという解釈もできる。

満室にはならないのなら、新たな客を受け入れてもパラドックスにはならない。ところが、そうなると、無限集合の全ての要素についてという議論ができなくなってしまう。つまり無限集合では、有限集合と異なりその集合の全てのメンバーに関する議論ができなくなってしまう。自然数の要素全てについてこうこうこういう性質があるという議論をしたいのに、自然数の全てなんてないよと言ってしまうと甚だ具合が悪い。それで、無限に部屋を持つホテルには無限集合独特の性質があるのだ、それが単にパラドックスに見えているだけだという議論になるのだろう。

ペアノの公理では、

1)0は自然数である。
2)a が自然数ならその後者(a+1のこと)も自然数である。

という再帰的定義で自然数を定義しているが、これは全ての自然数を定義してはいない。荒っぽい議論になるが、仮にすべての自然数を要素とする集合があったとする。自然数には大小関係があるから、その中で最大の自然数が存在するはずだ。すべての自然数を集めたのだから。しかしその最大数を m とするとベアノの定義で m+1 も自然数でなければならないはずで、これは矛盾となる。したがって上の定義による自然数全てからなる集合は存在しない。

推論が間違っているのかもしれないが、無限集合にはそれに含まれるすべての要素の集合を考えることはできないと考えるほうが自然なような気がする。

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by tnomura9 | 2017-06-05 13:41 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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