オブジェクトモデルと無限集合

オブジェクトモデルでは集合や個体を表すオブジェクトを全て集めたもの(の候補) Uc (a candidate for the universe) は常に有限集合だ。しかし、Uc のオブジェクトとして無限集合を考えることはできる。

無限集合の要素は無限にあるので、無限集合を表すオブジェクト A の外延は無限に要素を含むことになり、Uc には含まれない要素もその外延は含むことになる。しかし、Uc はいつでも拡張可能なので、A の外延の要素のうち Uc に存在しないものが必要になったときは、その要素を含む新しい Uc に拡張することができる。

このようにオブジェクトモデルにおける無限集合では無限を可能無限の立場から捉える。無限集合のオブジェクトを Uc に含ませることはできるが、それは外延の要素が常に不確定な特殊なオブジェクト(集合)として扱われる。その外延の要素には常に Uc には含まれていないものがあるが、必要に応じてそのようなオブジェクトを含んだ Uc に拡張することは可能だ。

無限集合の要素は無限だが、それらの全てを考えることができるという立場には矛盾が潜んでいる。要素が無限に存在するということは、それらを全て並べてみせることは不可能であるにもかかわらず、それら全てを集めることができるとして、それらの集合を考えるからだ。数えきることはできないにも関わらず、数えきってしまうと考えるのは明らかな矛盾だ。

可能無限の場合には無限は単に拡張可能性を示しているに過ぎない。1から100までの整数の集合を考えることできるが、これにさらに101を加えて整数の集合を拡張することができる。また、10000でも100000でも大きな数が必要になったときにはいつでも整数の集合を拡張することができる。それらの操作を延々と続けることのできるものを整数全体の集合(の候補)と考えるのだ。この考え方では捉えることのできるのは常に整数全体の集合の部分集合である有限集合だ。しかし、それはいつでもどんな大きな数についても拡張可能である。

したがって、無限集合を表すオブジェクトの外延にはつねに Uc に含まれないものがあるが、それは必要に応じて Uc を拡張することによって Uc に含まれるようにできる。無限集合の外延とは、その外延に含まれる要素を決定するためのルールである。

このようにオブジェクトモデルでは、無限集合は外延の要素が Uc に含まれないものがある特殊なオブジェクトとして Uc の中で取り扱うことができる。

たとえば、Uc のオブジェクトとして自然数のオブジェクトという無限集合と、1から100までの自然数というオブジェクトが含まれていたとしよう。この中には101というオブジェクトは存在しないが、議論の中で必要になってきたときは 101 をオブジェクトとして含む Uc に拡張すれば良い。拡張した Uc の中に矛盾が存在しなければ、自然数の集合という無限集合を考える事ができる。

しかし、ラッセルの集合は Uc の要素として考えることはできない。Uc のオブジェクトのうち自分自身を要素として含まない集合のクラス Rc を考えることはできる。しかし Rc を外延とするオブジェクト Rc を Uc の中に見出すことはできない。かりにそのようなオブジェクトを考えるとラッセルのパラドックスが発生するからだ。

ところが Uc の外には Rc クラスを外延とするようなオブジェクト Rc' を考えることができる。そこで Rc' を要素として含むような Uc の拡張を考えてみる。すると Rc' の外延はたしかに Rc ではあるが、Uc の拡張における自分自身を要素として含まない集合のクラスは Rc' を含まないといけないのでこれを表す Rc'' は Uc の拡張には存在しない。

つまり Uc の拡張によってラッセルの集合 R を捉えようとしてもどのような拡張を行っても R を外延とするオブジェクトを Uc の要素として含むことはできない。このようなものは無限集合ではないといえる。

このように可能無限から無限集合をとらえると、Uc の中で無限集合というオブジェクトを含む事ができて、同時に無限の要素を含む集合というものを明確に定義できる。このような立場からは Uc は常に有限集合なので、その部分集合であるクラス全体に対して矛盾なく排中律を適用することができる。

この無限集合に対する取り扱い方は、普段コンピュータのプログラムをするときに普通にやっていることだ。コンピュータのメモリは有限なので、無限の数を取り込むことはできないが、どんな大きな数もそれが有限な数なら計算することができる。どんな数でもいいという点で有限のメモリの中に無限の自然数を閉じ込めることができるのだ。

全てのオブジェクトを含む Uc は存在しないが、どのような要素でも必要なときに Uc を拡張して取り入れることができれば 、Uc が有限集合であっても、無限集合という仮想的な集合を集合の仲間として取り扱う事ができる。

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by tnomura9 | 2017-02-01 00:36 | 考えるということ | Comments(0)
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