自分自身を要素として含む集合と含まない集合

ラッセルのパラドックスを引き起こす集合は、「自分自身を要素として含まない集合の集合」だが、「自分自身を要素として含む集合」という集合もイメージしづらい。ところが、これをソシュールの記号論的に解釈すると意外にすっきりと理解できる。

ソシュールは記号をその記号自体である記号表現とその記号が指し示す記号内容が不可分に結びついたものと定義している。そうして、「集合とは物の集まりという物である」という素朴集合論の定義は、記号論的に解釈することができる。すなわち、ものとしての集合は集合の記号表現であり、その集合の外延である物の集まりは集合の記号内容であると定義できる。

こういう風に考えると、記号表現である集合自体がその外延の要素として含まれていることには問題が起きない。また、集合がその外延に含まれていない場合も可能だ。

記号表現である集合自身がその外延に含まれない集合は、再帰的定義にはならないので確定できると思われる。しかし、その場合記号表現としての集合の性質には「自分自身を要素としては含まない」という属性が発生する。そこで、「自分自身を要素として含まない集合」の集合を考えると、記号内容としての外延の要素には自分自身を要素として含まないが、それゆえに記号表現としての集合は「自分自身を要素として含まない集合」という属性を持つことになる。このようなコンフリクトが発生するのは、集合の定義では集合という記号表現とその外延という記号内容が不可分に結びつくためだ。

また、記号表現である集合自身がその外延に含まれるときは、再帰的な定義となるため、その要素である集合自身を確定することができない。つまり、その集合自身は何かという問いには無限再帰のため永遠に答えられない。

こう考えると、素朴集合論にラッセルのパラドックスが発生する原因は、まさに「集合とは物の集まりという物である」という集合の定義に存在していたことが分かる。また、なぜそういうことが起きてしまうのかは、その集合の定義を記号論的に解釈することによって明確にできる。



What is a set which contains itself as an element

The set that causes Russell's paradox is "a set of sets that does not contain itself as an element", but it is hard to imagine a set of "a set containing itself as an element". However, you can clearly understand it from the point of view of Saussure's semiotics.

Saussure defines a symbol as an indivisible combination of the symbolic expression which is the symbol itself and the symbolic content pointed to by the symbol. Then, the definition of the naive set theory that "a set is an object which is a collection of objects" can be interpreted semiotically. That is, a set itself is a symbolic representation of a set, and a collection of objects that are extensions of the set can be defined as the symbolic content of the set.

Considering this kind of situation, the problem does not arise that the set itself, which is a symbolic representation, is included as an element of its extension. It is also possible if the set is not included in the extension.

A set whose symbol expression is not included in its extension is considered to be definable because it does not become a recursive definition. However, in that case, the property of the set as a symbolic representation has an attribute "not including itself as an element". So, considering the set of "sets that do not include themselves as elements", the set itself (symbolic expression) is not included in its extension (symbolic contents), but the set it self (symbolic expression) is also a set that does not include itself. Such a conflict occurs because of the symbolic expression of a set and the signification it i.e. its extension are inseparably linked.

Conversely, when a set itself, which is a symbolic representation, is included in its extension, it is a recursive definition. So it can not determine its own set itself. In other words, the question of what the group itself is unable to answer forever for infinite recursion.

In this way, it turns out that the cause of Russell's paradox occurring in the naive set theory was exactly in the definition of the set "a set is an object which is a collection of objects". Also, why such a thing happens can be clarified by semiotic interpretation of the definition of that set.


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by tnomura9 | 2016-12-26 12:45 | ラッセルのパラドックス | Comments(0)
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