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公理図式の不思議

ウカシェビッチの3つの公理

P1. A -> (B -> A)
P2. (A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))
P3. (¬B -> ¬A) -> (A -> B)

の原子式 A, B, C は特定の命題を表しているのではなく、ここには任意の命題を当てはめることができる。したがって、これらの公理は特定の命題を表しているのではなく、公理図式だ。

3つの公理を見ると、まず思いつくのが、ベクトル空間との類推だ。ベクトルの場合は少数の基底ベクトルから、ベクトルの演算で導き出される全てのベクトルを考えることができる。しかし、これらの公理は特定の命題を表しているわけではないので、この方法が使えない。

例えば、公理P1 の A -> (B -> A) で定められる命題の集合を考えて見る。プレースホルダー A, B に任意の命題を当てはめることによって新しい命題を作ることができる。例えば B を B -> C で置き換えることによって、次のような新しい命題を導くことができる。

(A -> (B -> C)) -> ((B -> C) -> A)

トートロジーの原子式を任意の命題で置き換えても、それもまたトートロジーになるので、上の命題の A, B, C も任意の命題に置き換えることができる。つまり、公理図式の原子式を任意の命題で置き換えてできる新しい命題もやはり命題図式 (shcema) になる。

しかし、全ての論理式がトートロジーというわけではないので、公理から導かれる命題図式は命題の中でもトートロジーという特殊な命題である。

公理の原子式を他の論理式で置き換えて新しい論理式を作ることができるので、論理式の集合 L を考えるとこの操作は論理式集合 L で定義される関数と考えることができる。しかし、A -> (B -> A) では A, B が任意の論理式で置き換えることができるので、この関数 f1 :: L x L -> L のように L の直積から L への関数である。

A, B と置き換える論理式には制限がないので、この関数 f1 の定義域は、L x L そのものである。また、論理式の一意性から L × L の異なる要素には異なる論理式が対応するので f1 は 単射である。また、f1 は A -> (B -> A) で定められる定理の集合に対し全射である。したがって、f1 は論理式の直積集合 L x L から L への全単射関数である。

論理式の一つ一つの記号列は有限長であるので、L の要素は有限長の論理式である。したがって L は無限集合であるが加算である。この場合 L x L も加算な無限集合なので f1 の像も加算な無限集合である。f1 の像は明らかに L の部分集合であるが、その濃度は L と等しい。このような L の部分集合を F1 としよう。すると、公理 P2, P3 からも同様に部分集合 F2, F3 を定めることができる。

公理から演繹される定理の集合がこれだけなら問題はない。無限集合であって、それぞれが L と同じ濃度であっても L を F1, F2, F3 で類別することができる。ところが、これらの定理にはもう一つ前件肯定という演算規則が適用される。これは、F1, F2, F3 の要素を二つとり、それから新しい定理を作り出す。この新しい定理が、F1, F2, F3 の要素であれば問題はないが、どうも F1, F2, F3 には治らないようだ。

前件肯定で演繹された新しい定理はトートロジーなので、これは定理図式になる。定理図式であれば、上に議論した方法で、L の部分集合を定めるがこれが F1, F2, F3 と独立であれば、類別の数が一つ増えることになる。さらに、これらの L の部分集合から前件肯定によって新しい L の部分集合が作られるとして、それが無限に繰り返すことができるとすると、類別の数が無限に増えることになる。こうなるともはやこれらの集合は L という加算集合には治らなくなる。したがって、類別を無限に増やすことができないか、L が加算ではないかのどちらかということになる。

そこで、最初に論理式の記号列の長さは有限なので、L は加算であると単純に考えていたが、果たしてそれで良いのかという疑問が生じる。論理式の長さは確かに有限だが、それには原子式の種類が無限であるという観点が抜け落ちていたのではないかということだ。A, B, ... という原子式はその種類を無限に考えることができる。A -> B という論理式は長さが3であるが、長さが3である論理式は、原子式の種類によって無限に存在するということである。長さが3である論理式の数が限られていれば、論理式は記号列の長さによって加算であると考えることができるが、長さが3である論理式が無限に存在すると考えると、これは加算ではなくなってくる。

公理や定理による L の部分集合による L の類別が無限に存在するというパラドックスは、L が非加算であると考えることによって解決できるのではないだろうか。

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by tnomura9 | 2016-09-26 06:18 | 考えるということ | Comments(2)
Commented by tktk at 2016-10-28 17:06 x
はじめまして。
初めてブログを読ませていただきました

唐突で不躾な質問になってしまいますが、よろしければ愛読書を何冊か教えていただけないでしょうか?
tnomuraさんが好まれる本がどのようなものなのか興味があり、コメントいたしました。

Commented by tnomura9 at 2016-10-28 22:29
tktk さんコメントありがとうございました。

手元に置いておいて何度読み返しても飽きないという意味の愛読書というのはないような気がします。読破したわけではないけれどページをめくるたびにワクワクする本というなら『聖書』です。ただし、宗教書という意味ではなく、人間というものの不条理さを飾ることもなく表現してくれているという意味です。聖書の記事を読むたびに、人間というものは本当にそういうものだなと納得するのが好きです。吉田武先生の『オイラーの贈物』も好きです。バラバラに見えた数多くの定理が e^iπ = -1 に向かって収束していく感じが感動的でもあります。その他はミハエル・エンデの『モモ』が好きです。現代の日本では時間泥棒はどこにでもいます。

tktk さんのコメントで愛読書を持つということが大切なことだと気付かされたような気がします。これから探していこうと思います。
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