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無限集合の定義

自然数の集合は無限集合だ。それは、自然数の集合の要素の数を数を数え上げることができないからだ。自然数に最大数 N があったと仮定しても、N + 1 は N より大きい。したがって、自然数には最大数というものはない。

しかし、自然数の集合の要素について考えてみると、それは全て有限の数である。自然数の要素の中に無限数はない。それは上の議論からわかるように無限数を自然数の要素と考えると矛盾がおきることからもわかる。

自然数の集合の中には、無限の要素数の自然数が含まれているが、そのどの要素を取り出しても有限数であって、無限数が含まれることはないのだ。

それでは自然数の冪集合について考えてみよう。自然集合の部分集合 {0, 1} の冪集合の要素は [}, {0}, {1}, {1,2} だ。明らかにこれらは、自然数全体の集合の冪集合の要素である。しかしながら、これらのどの集合も無限の要素を含むものはない。{0, 1} の冪集合の要素は全て有限集合だ。

これは、対象とする自然数の部分集合を {0, 1, 2}, {0, 1, 2, 3}, ... と拡張していっても事情は同じである。対象とする自然集合は無限にどんどん大きくしていくことができるが、それから作り出される自然数の冪集合の要素は全て有限集合だ。

自然数の要素に無限数は含まれないのと同様に、自然数の冪集合の要素の中にも無限の要素を持つ無限集合は含まれないと考えるべきなのだ。

自然数の冪集合の要素の中に無限集合が含まれないと考えれば、自然数の冪集合の要素と、自然数との全単射を作ることは可能だ。

カントールの定理では、対角線論法によって自然数の冪集合と自然数との全単射ができないと結論づけられているが、その論法の中には、自然数の冪集合の要素の中に暗黙に無限集合の存在を認めている。しかし、自然数の集合の中に無限数はなく、したがって、自然数の冪集合の要素の中に無限集合は存在しないはずだ。その存在しないはずの無限集合を安易に自然数の冪集合の要素として取り入れたために自然数と自然数の冪集合との全単射が存在しないという結論になったのではないだろうか。

カントールの考え方は、実無限の考え方だ。しかし、以前にこのブログの記事で述べたように、対角線論法自体の議論は、構成的な手法であって、可能無限の立場から行われている。しかし、アルゴリズムとしての可能無限の立場は、カントールの対角線論法以外にも考えることができるので、カントールの定理とは異なる結論も得ることができるのだ。

実無限は便利な考え方で、実数を1点として考えることができるなどの多くの利点がある。しかし、安易に実無限の考え方を持ち込むとおかしな現象が起きてくるのではないだろうか。実無限を考える際には、アルゴリズムとしての可能無限とのすり合わせが重要なのではないだろうか。

実は、実数を1点と考える考え方は、微分の微分小を0であると考える荒っぽい考え方に通じる。円は実際に存在するので、円周率という無限小数が一点として存在するのは当たり前だと考えるかもしれないが、円周率が無限小数になるのは、アルゴリズムとしての円周率の求め方が無限小数を引き起こしているためで、ゼノンのアキレスと亀の議論に通じるものがある。

カントールの実無限の考え方にも、何かこのような安易な抽象化がふくまれている気がしてならない。

カントールの定理が間違いであると主張するつもりはないが、しかし、自然数の冪集合の要素として、無限集合を考えるための条件をもう少し厳密に定義する必要があるのではないだろうかという気がする。

by tnomura9 | 2016-01-14 08:09 | 考えるということ | Comments(0)
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