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対角線論法の仕組み

カントールの対角線論法によれば0以上1未満の実数と自然数の全単射を作ることができない。無限小数で表記された実数と自然数の全単射があると仮定した時、自然数 n に対応する実数の小数点下 n 桁目の数と異なる数を小数点下 n 桁の数とする実数を考えると、これは自然数に対応したどの実数とも異なる実数であるから自然数とは対応していない。

この論法では自然数との全単射を考えた時に対応づけられない実数が少なくとも1つ存在することを示すが、自然数との1対1対応で余ってしまう実数が一体どのくらいあるのかを示してはくれない。そこで、対角線論法の中身を整理してみる。

まず、0以上1未満の実数を無限小数で表記するのに2進数を使うことにする。以下の議論では10進数表記でも同様に議論できるが、2進数の方が説明が簡単になる。任意の実数は a = 0.00101... のように表記される。

このように2進数表記で実数を記述するとき、小数点下 n+1 桁目以下は全て0である有限小数を考えると、このような有限小数は全て列挙でき、その数は 2 の n 乗個になる。例えば、小数点下3桁で終わる有限小数は、次の 8 個だ。

0.000
0.001
0.010
0.011
0.100
0.101
0.110
0.111

対角線論法では実数列の対角線を考えるため、8つの有限小数のうち 3 個についてだけ考えることになる。例えば、0.101, 0.010, 0.001 3つを 1, 2, 3 に対応付けると次のようになる。

1 -> 0.101
2 -> 0.010
3 -> 0.100

この数列から、対角線論法によって有限小数を作ると 0.001 だがこれは確かに上の3つの有限小数には含まれない 1 から 3 までの自然数には対応づけられない数である。このように n 桁までの有限小数は 2 の n 乗個あり、対角線論法ではそのうちの n 個について自然数との1対1対応を考えることになる。したがってこの議論を n が無限大になるまで続ければ自然数と実数(の部分集合)との1対1対応とその対応に含まれない実数について論じることができる。この場合自然数に対応づけられない実数の数は 2 の 無限大乗 - 無限大 という膨大な数になる。

ただし、この議論で自然数に対応づけられる数は実際は常に有限小数である。カントールは実無限の立場から無限小数が1点として存在すると考えて実数の n 桁の比較が無限大まで続けることができると考えて議論を進めているように見えるが、可能無限の立場からは、無限小数の最後の桁の数を求めるのは不可能である。可能無限で表現できる実数とは常にある範囲の実数を示す有限小数でしかない。例えば、上の例では有限小数 0.010 は 0.010 以上 0.011 未満の実数の集合である。無限小数で無理数が表記されていても、可能無限の立場からはそれは常にある一定の範囲の数の集合でしかない。

このように無限小数表記の無理数が、実際には有限小数で表される無理数の存在範囲の集合であると考えると、これは自然数と1対1対応させることが可能である。つまり、カントールの対角線論法では上の例の8つの数のうち3つだけしか自然数との対応を作ってはいないが、有限集合が点ではなく数の範囲を表していると考えると、8つを8つとも自然数と対応させることができる。

可能無限の立場をとったとしても、すべての実数を自然数に対応付けることは不可能だが、すべての実数を含むことができる実数の存在範囲を示す有限集合に対しては全単射を作ることができる。有限集合が表す実数の存在領域はどれだけでも小さくすることができるから、ある意味この全単射は自然数と実数との全単射とも考えることができる。これは連続数のデジタイズが確率論的に連続数全体をカバーできることを示している。

可能無限の立場をとったとしても、自然数と実数の一点との全単射はできない。しかし、対角線論法では、あまりに小数の実数しか自然数との全単射に用いられていないのがわかる。自然数と実数の間の全単射を考えるときは常に問題意識として、実数の世界をもれなく自然数で表現できるかどうかという問いがある。自然数で実数を表現できれば、実数で起こる現象を自然数の世界で論じることができるからだ。「神は自然数を造り賜うた、後の数は全て人間が作ったものである。」というクロネッカーの言葉は全ての数が自然数に基礎づけられることを言っているのだろう。実数の世界をある間隔で細切れにしてそれを有限小数(によって代表される実数の集合)として表現し、集合としての実数と自然数との全単射を考える可能無限の立場は、対角線論法よりも有効に実数と自然数との関係を示してくれる。

...と、これでうまくいくと思ったらそうは行かなかった。0以上1未満の数を区間で小分けすると総数は有限になるので、こんどは自然数のほうが余ってしまう。無限の自然数と対応させるためには、小分けの仕方を無限小にして区分の総数を無限大にしなければならない。実数より自然数のほうが余ってしまう。

小分けの区間が小さいほど区分の数は増える。区間を0に近づけると区分の数は無限に大きくなり、有限小数が表す実数の範囲も狭くなる。区間を極限まで小さくした時、有限小数は限りなく無限小数に近づき、対応する自然数の数も限りなく大きくなる。このとき、極限の有限小数で表す実数と自然数は全単射となるように思われるが、区間を0にすることはできないので、実数と自然数のあいだの全単射に限りなく近づくといえるかもしれない。荒っぽい言い方をすると、自然数と実数の濃度は同じに近いのではないかということになる。区間を0にすれば一つの区間が実数の一点を表すかもしれないが、区間を0にすることはできない。区間の幅を狭める方法で実数を捉えようとする方法では実数の一点を捕まえることはできず、どんなに区間を縮めてもその区間の中には無限の数が含まれる。

実数の一点と自然数の一点との対応という切り口では実数の数のほうが自然数より無限に多いが、区間を狭めていくと無限の点もあまり変わらない値しか取らなくなる。実数の濃度と自然数の濃度をイメージとして捉えようとする時、実数と自然数との全単射ならあるのではないかと考えたくなるのはそのためだ。

実数の存在形態についてはイメージを作るためにあれこれ考えられるので面白い。

by tnomura9 | 2015-10-23 07:31 | 考えるということ | Comments(0)
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