自由群の準同型写像の作り方

勝手に選んだ集合 S と群 G があるとする。また、集合 S と群 G の台集合 G (群と同じ名前) の間の関数を適当に f : S -> G とする。これらの S、G、f を元に S の上の自由群 F(S) と群 G の間の準同型写像 f~ : F(S) -> G を作ってみよう。

まず集合 S の要素と1対1対応する文字の集合 S' = {a, b, .. } を考える。さらに、S' に対応させて文字の集合 S'' = {a-1, b-1, .. } を考える。この二つの文字集合と空文字 '' をあわせて文字集合 S~ を作ると、

S~ = {'', a, a-1, b, b-1, .. }

となる。そこで、この文字集合 S~ の文字を並べてつくた文字列を要素とする集合 Sm をつくると次のようになる。

Sm = {'', a, a-1, aa, aa-1, ab, .. }

またこの文字列の集合 S に二項演算 * を導入するが、* は二つの文字列を連結する操作にする。つまり、

abc * def = abcdef

である。さらに文字列の集合 Sm に簡約の規則を導入する。すなわち aa-1 のように文字とその逆元がならんだらそれは空白文字 '' と置き換えることができるとする。つまり、

aa-1 = a-1a = ''

である。このような簡約を続けていってそれ以上簡約できなくなった文字列は既約であるということにする。証明は省くが、簡約を続けて得られる既約の文字列がおなじになる文字列の間の関係は同値関係になるから、それらの文字列を集めると、規約の文字列を代表元とする同値類になる。この同値類の集合が前回も述べたような S' 上の自由群 F(S') となる。すなわち、

F(S') = {[''], [a], [a-1], [ab], ... }

である。ここで、自由群 F(S') と 最初に選んだ群 G とのあいだの写像 f~ を段階的に定義していく。

まず S と S' は仮定から全単射で対応付けられているので S と S' を同一視する。たとえば f : S -> G のとき、g = f s だが、これを f : S' -> G と考え g = f 's' と同じものと考える。また、's' を s と同一視して s と記述することにする。

まず、集合 S = {a, b, c, ...} と群 G の台集合 G = {x, y, z, ... } の間の関数 f が、

f a = x, f b = y, f c = z, ...

であるとする。このとき自由群 F(S) と群 G の間に f を利用して f~ : F(S) -> G を作る。まず、F(S) の要素 [a], [b], [c], ... については f を使って、

f~ [a] = f a = x, f~ [b] = f b = y, ...

のようにする。また [a] の逆元 [a-1] については、次のように定義すれば、F(x) の逆元は f^ によって G の逆元に写される。

f~ [a-1] = (f a)-1 = x-1

さらに、演算子 * について f~ を次のように定義する。

f~ ([a] * [b]) = (f~ [a])(f~ [b]) = xy

F(S) のその他の元の f~ による値については上で定義されたルールによってすべて確定される。つまり、上の定義で f : S -> G を利用して、写像 f~ : F(S) -> G が定義できることが分かる。また、これは簡単な推論で F(S) -> G の準同型写像であることを証明できる。

また、定義から明らかであるが、f~ を S'' = {[a], [b], ... } に制限した写像では、

f~ [a] = f a

である。ここで、[a] と a を同一視すると上の等式は、

f~ a = f a

となる。これまでの操作はどのような f : S -> G についても同じ手続きで行うことができる。したがって、この操作は普遍的なのである。

以上の説明は証明ではなく、f : S -> G から f~ : F(S) -> G を導き出すときのアイディアを概観しただけであるが、これがわかれば自由群の普遍性についての次の記述を理解することができる。

自由群の普遍性 (自由群 - Wikipedia)

文字集合 X 上の自由群は自由群の普遍性 (universal property) と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。G を任意の群とし、f: X → G を任意の写像とすると、群の準同型

f~ : F(X) -> G

で、その X への制限写像について

f~ a = f a

が任意の a ∈ X に対して成立するようなものがただ一つ存在する。

自由群は、より一般の概念として圏論における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の随伴関手を定める。

これによって、自由群の普遍性の意味は、集合 X から群の台集合 G への写像 f : X -> G はどんなものでも、自由群 F(X) から群 G への「同型写像」f~ : F(X) -> G へ拡張できることだということがわかる。

これで随伴関手の例のひとつを理解するための準備が整った。
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by tnomura9 | 2014-08-30 17:40 | 圏論 | Comments(0)
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