自然変換の垂直合成と水平合成

圏 C と B が与えられたとき、関手 R, S, T : C -> B について、σ : R -.->S と τ : S -.-> T が二つの自然変換であれば、各 c ∈ C に対するそれらのコンポーネントから合成射 (τ * σ)c = τc . σc が定義される。これらのコンポーネントを集まりは自然変換

τ * σ : R -.-> T

になる。これは Rf : Rc -> Rc' と Tf : Tc -> Tc' について、次の可換式を成立させるので自然である。

Tf . (τ * σ)c = (τ * σ)c' . Rf

つまり、自然変換はつぎつぎに合成していくことができる。ここでは記述しないがその合成は結合的である。また、各関手 T について恒等変換があって、それはコンポーネントが 1Tc = 1Tc の自然変換 1T : T -> T がある。したがって、圏 C と B の全ての関手を対象とし、自然変換を射とする関手圏(functor category)

BC = Funct(C, B)

を構築することができる。

関手圏の例としては B と C が集合(つまり要素が対象で、要素から要素への恒等射だけからなる圏)の場合、B から C への関手は、B の要素から C の要素への写像になる。したがって、B と C の個数が有限の場合、B の任意の要素を C の要素に対応づける可能性は BCあることを考慮に入れて、BC 個の要素数を持つ集合 BC が関手圏になる。

自然変換 σ と τ の合成は、関手を縦方向に並べて変換していくので、垂直合成と呼ばれる。

自然変換にはもうひとつ水平合成がある。関手と自然変換がつぎのように与えられた時、

C --{ S }--> B --{ S' }--> A
C --{ T }--> B --{ T' }--> A

ただし、

τ : S -.-> T
τ' : S' -.-> T'

このとき、自然変換 τ と τ' は水平に並んでいる。詳細は省くが、c ∈ C を合成関手 S' . S で写像した S'Sc と T' . T で写像した T'Tc の間の射を (τ' * τ)c で定義すると、

(τ' * τ)c = T'τc * τ’Sc = τ’Tc * S'τc

のようになる。これを自然変換の水平合成という。

このように自然変換の合成には垂直合成と水平合成のふたとおりの合成方法がある。この2つの自然変換の合成法はモナドのときに活躍する。
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by tnomura9 | 2014-07-25 01:21 | 圏論 | Comments(0)
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