cone と limit

1. コーン cone

『圏論による論理学 高階論理とトポス』 清水義夫著 によると、コーン (cone) の定義は次のようになる。

Cを圏とし、DをCの部分集合とする。その上で、Cの対象 X と D の各対象 Di について、 fi : X -> Di が定まっており、かつ D の任意の射 dij : Di -> Dj について次の可換があるとき、対象 X と { fi | fi : X -> Di, i ∈ I } なる矢の集合は、D へのコーン (cone) と呼ばれる。

dij . fi = fj

ただし、
fi : X -> Di
fj : X -> Dj
dij : Di -> Dj

まず部分圏という用語について考えてみる。圏は対象と射から構成されており、射には結合則をみたす射の合成と、恒等射があるという制限がある。この場合、圏は射の合成に関して自己完結的であり、圏の射を合成した結果もやはりその圏の射である。部分圏とは、ある圏の一部の対象と射を取り出したとき、それが圏をなしており射の合成がその部分圏で自己完結しているようなものを言う。圏の中に、部分的な圏が含まれている状態だ。上の定義では C が元々の圏で、Dがその部分圏だ。

コーンとは、Cの対象 X をひとつ取り出して、圏Dの全ての対象への射 fi を考えたものだ。ただし、この射は Di の射 dij について次の可換式が成り立っている必要がある。

dij . fi = fj

これがどういう意味を持っているのか考えてみる。dij は単に Di -> Dj 型の射を表しているにすぎない。Di -> Dj 型の射は複数ある事が普通だから dij はその中の射のひとつを代表している。

fi は X -> Di 型の射だ。これは仮定からひとつの射に限定される。また、対象 X の fi による像は対象 Di の部分集合になる。そうして、fj についても同じことが言える。

fi と fj はドメインが同じなので、fij : Di -> Dj という射を定める事ができる。なぜなら、任意の X の要素 x について、

fi x |--> fj x

という対応関係が生じるからだ。この対応関係によって生じる射を fij とすると、

fij : Di -> Dj

である。

このとき次の可換式が成立する。

fij . fi = fj

ところで、射 fi による対象 X の像は対象 Di の部分集合であるから、fi と dij の合成は、dij の定義域に制限をかけるという意味合いもある。したがって、コーンを定義する可換式は、dij の定義域に fi による制限をかけると、 fij と同じ射になるということを示している。

また、この可換関係が全ての dij について成り立っているという事は、対象 Di から対象 Dj への全ての射について考えたとき、X からの射 fi と fj によって制限された Di と Dj については全ての射に共通する fij が含まれているということになる。

この事情は X と全ての圏 D の対象 Di について成立するから、対象 X と射の集合 { fi } で構成されるコーンは、圏 C と 圏 D のある構造を反映しているといえる。コーン (cone) という名称は頂点 X から圏 D へ射が張り巡らされている様子から命名されたのではないだろうか。

2. リミット limit

リミットの定義については次のように記載されている。

C を圏とし、D を C の部分圏とする。また X と { fi | fi : X -> D i, i ∈ I } を D へのコーンとする。その上で、Y と { gi | gi : Y -> Di, i ∈ I } なる D への任意のコーンについて、ある射 h : Y -> X が一意的に存在して、 下図(図を書くのが面倒なので可換式で代用する)が可換となるとき、X と { fi | fi : X -> Di なる D のコーンは、D の「リミット」(limit) と呼ばれ記号 <lim D (これもプログでは表記できなかった、原著を参照してほしい)で表される。

コーン Y とコーン X の可換式

fi . h = gi
fj . h = gj

Y と X はいずれも D のコーンである事の可換式、

dij . gi = gj
dij . fi = fj

要するに、圏 C と圏 D について、対象 Y によるコーンを 対象 X によるコーンに変換する射 h があるということ。コーン間の変換をおこなう射 h は複数個存在する事もあるが、そのうち他のコーンからのこのような変換を行う射 h が一意的に定まるコーンがリミットであるということだ。

一意的な射という考え方は対象の積の定義でも出てきた。圏論ではよく出くわす言い回しだ。対象 A から 対象 B へのある性質を保存するような射は複数あるのが普通だが、他の全ての対象からの射がそれぞれ一意的なものはその性質を最も普遍的にあるいは後半に保存する対象や射であるという意味だろうか。

個々のコーンは 圏 C と 圏 D のある構造を表しているが、その最も広範なものあるいは本質的なものがリミットであると考えてよいのだろうか。

3. リミットの例

リミットの意味が分かっているのか甚だ不安だが、参考書に対象の積の例がでていたので見てみる。対象の積は対象の積となる対象 A × B とそれの対象 A への射影 π1 と対象 B への射影 π2 から構成されている。これは対象 A と 対象 B からなる部分圏を考えると、ひとつの対象 A × B と射の集合 { π1, π 2 } で形成されているからこれはコーンである。A × B の要素 は A の x と B の y に写像され、このとき A から B への写像は x |--> y になる。

A <--{ π1 }-- A × B --{ π2 }--> B

この圏で、対象 C から対象 A への射 f と 対象 B への射 g があるとき次のような図式がかけるから、これもまた、対象 C と射の集合 { f, g } で構成されるコーンである。

A <--{ f }-- C --{ g }--> B

この場合 C の要素を c とすると、c |--> f c, c |--> g c で、A から B への射は fc |--> g c となる。

このとき定義から射 h : C -> A × B が一意的であるから、A × B と { π1, π2 } からなるコーンはリミットである。どんな対象 C と { f, g } のコーンも対象の積によるコーンに変換できるから、対象の積によるコーンは対象の積の振る舞いを示すパターンのうち最も広範で基本的なものであるという事ができる。

コーンやリミットの考え方は抽象的なので意味付けが難しいが、ここで書いたようなことを踏み台にしてさらに学習をすすめるしかない。
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by tnomura9 | 2014-07-13 08:54 | 圏論 | Comments(0)
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