自然変換のイメージ(再考)

圏 C の任意の射 f をとりだす。f の domain と codomain をそれぞれ c, c' とすると、

f : c -> c'

である。ここで、圏 C から圏 D への2つの関手があり S, T とすると、f : c -> c' の像はそれぞれ

Sf : Sc -> Sc'

Tf : Tc -> Tc'

となる、Sf, Tf は射 f の像で、Sc, Tc は c の像、Sc', Tc' は c' の像だ。

自然変換 τ の目的は、Sf, Sc, Sc' を Tf, Tc, Tc' に移す変換を見つける事だ。つまり Sf |--> Tf, Sc |--> Tc, Sc' |--> Tc' となる変換だ。

Sc, Sc' というオブジェクトを Tc, Tc' に写像するのは簡単だ。c や c' などのオブジェクトの内部構造は圏論では見る事ができないので、単に Sc というオブジェクトを Tc というオブジェクトに対応させるだけでいい。

問題は Sf と Tf の対応関係をどのように表現するかだ。

自然変換の分かりにくさは、これを可換な合成射で表現している所にある。どういうふうに考えるのだろうか。まず、Sf と Tf の型を見ると、

Sf : Sc -> Sc'
Tf : Tc -> Tc'

なのでこの2つの射に対し、Sc' -> Tc', Sc -> Tc 型の射を考える事で、Sf と Tf を関係づける事ができる。すなわち、

τc' : Sc' -> Tc'
τc : Sc -> Tc

τc' はオブジェクト Sc' の要素をオブジェクト Tc' に対応づける関数だ。同様に τc はオブジェクト Sc の要素をオブジェクト Tc の要素に対応づける。ここで次のような射の合成を考える。

τc' . Sf : Sc -> Tc'

これはオブジェクト Tc の要素を射 Sf でオブジェクト Sc' に写像した結果を、さらに τ c' でオブジェクト Sc' から オブジェクト Tc' に写像している。こういう射の合成はもうひとつのルートが考えられる。まず オブジェクト Sc を τc でオブジェクト Tc に写像し、その結果にさらに Tf を関数適用するやり方だ。すなわち、

Tf . τc : Sc -> Tc'

だ。これらの2つの経路からなる射の合成の結果が同じであれば、つまり、この2つの合成射が同一の射であれば、Sf と Tf の対応関係を記述できる。すなわち τ : Sf |--> Tf を考える事ができる。これには、これらの4つの射の間に次のような可換式が成立すればいい。すなわち、

τc' . Sf = Tf . τc

である。オブジェクト c からオブジェクト c' への射は f 以外にも多くあることの方が多いが、その全てについて τc と τc' が上の可換式を満たせば、Sc -> Sc' 型の関数 fi 全てについて τ : S -> T を考えることができる。

また、この τc と τc' が可逆な射 isomorphism であれば、τ の逆射 τ-1 が存在して、

τ-1 : T -> S

となる。

自然変換とは、このような射(コンポーネント) τc を全ての圏 C のオブジェクト c について集めたものだ。普通の写像とは違うが関手 S から関手 T への射と考え、次のように表す。

τ : S --.--> T

さらに、τ のコンポーネント τc が全て可逆な射 isomorphism の場合 τ の逆変換 τ-1 が存在し、

τ-1 : T --.--> S

である。このとき自然変換 τ は自然同型であるという。

自然変換は確かに関手から関手への射だが、関手を引数にとり、値としての関手を返すというのではなく、Sf と Tf の間に可換な合成射を作るというやり方の関連付けなのでイメージしにくかったのだ。
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by tnomura9 | 2014-06-30 08:30 | 圏論 | Comments(4)
Commented by 通りすがり at 2014-08-15 11:13 x
たびたびお邪魔します。
自然変換って、関手から関手への準同型写像のことですよね?単に。
「自然」とか「変換」なんて言うからわかりにくいのですが。
Commented by tnomura9 at 2014-08-15 18:00
準同型写像というのは、集合から集合への演算などの構造を保存した写像のことを言うと思うのですが、関手は集合ではないので自然変換を準同型写像といえるのかどうか分かりません。関手を対象と考えると自然変換は関手から関手への射ということはできると思うのですが、準同型写像ということができるのでしょうか。

関手を関手に変換するので「変換」は理解できるのですが、それを「自然」というのがどういう意味なのかは、私も不思議に思っている事です。

こういうことも分かっている人に聞くとすぐに疑問が解消するのでしょうが、独学ではなかなかそれができないのがつらいところです。
Commented by 通りすがり at 2014-08-17 11:34 x
> 準同型写像というのは、集合から集合への(後略)
おっしゃるとおりです。
ここは、「一般化された準同型写像」というべきところを
単に準同型写像と言いました。
圏論というのは結局この「一般準同型写像」に関心があるのでしょう。
関手しかり、そして自然変換しかり。

> それを「自然」というのがどういう意味なのかは、
> 私も不思議に思っている事です。
そうですね。少なくとも「準同型」であることは「自然」である
ことの必要条件ではありそうですね。

> こういうことも分かっている人に聞くと
圏論の「専門家」というのははあてになりません
Commented by tnomura9 at 2014-08-17 16:52
通りすがりさん、コメントありがとうございました。
「一般化された準同型写像」という用語が不勉強でよくわかりませんでしたが、圏から圏への写像である関手が準同型写像と同じように構造を保存する写像であるというのは同感です。関手から関手への射である自然変換もおなじような発想でとらえる事ができればずいぶん理解しやすいと思います。
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