随伴関手のイメージ

圏 C から圏 D への関手 F : C -> D と、その反対方向の D -> C の関手 G : D -> C があるとする。

F : C -> D
G : D -> C

圏 C のオブジェクトのオブジェクトから A というオブジェクトを取り上げてみる。圏論ではオブジェクトの中身をみることはできないから、これをひとつの丸でイメージする。このオブジェクトの関手 F による像 F(A) はやはりオブジェクトだから、これもひとつの丸でイメージする。この写像関係をあらわすために、A -> F(a) のように A の丸から F(A) の丸へ一本の矢印を引く。

A ---{ F }---> F(A)

次に圏 D の適当なオブジェクト B をとりあげる。これも中身は覗けないので丸でイメージする。先ほどの F(A) とこの B は同じ圏 D のオブジェクトなので、これらを繋ぐ射 f があるはずだ。圏をイメージするときはオブジェクトは中身が見えないのでひとつの丸として表現する。射 f もやはり中身を考える事はないので、1本の矢印でイメージできる。ただし、F(A) から B への射は複数ある事が普通なので、これを { fn } という集合で表す事にする。{ fn } のイメージは F(A) から出発して B に終わる多数の矢の束だ。

F(A) ---{ { fn } }---> B

オブジェクト B は関手 G で圏 C のオブジェクト G(B) へ写像される。G(B) もやはり1個のオブジェクトなのでこれを丸でイメージし B からの1本の矢印で結ぶ。

B ---{ G }---> G(B)

このオブジェクトと最初に述べた A は同じ圏 C のオブジェクトだから射で連絡されている。そこで、A -> G(B) の射 g : A -> G(B) を考える。g と同じような A から G(B) への射は複数あるはずだから集合 { gn } 考える。イメージ的には A から始まって G(B) に終わる矢印の束だ。また矢印の方向は G(B) -> A のように A に戻るのではなく、F(A) -> B と同じ方向に平行して A -> G(B) になるので注意が必要だ。

A ---{ { gn } }---> G(B)

関手 F と 関手 G が互いに随伴関手であるための条件は、この { fn } と { gn } の間に全単射の写像をつくることができる、つまり、1対1に対応しているということだ。

{ fn } <-----> { gn }

これの何がうれしいかというと、圏 C のオブジェクト A に射 f を適用したオブジェクトを得る計算が難しいとき、A を一旦圏 D に写像して F(A) とし、これに圏 D の射を関数適用して B を求めそれを再び関手 G で圏 C に戻してやり G(B) を求めるというような操作が可能になるからだ。乗法を一旦対数の世界の加法に変換してその結果を対数の世界から真数の世界へ逆変換したり、直交座標を極座標に変換して処理を行った後また直交座標にもどしたり、実数値関数をフーリエ変換で周波数領域の世界に変換し、そこで処理した結果を逆フーリエ変換で実数の世界に戻すなど数学ではよく見られる技法だ。

f A 難しい!! ---> F(A) に写像 ---> g F(A) -> B を求める ---> B を G で写像 ---> G(B) が答え!!

追記
上の図式はちょっとあやしい。G(B) はただのオブジェクトなのでその中身を見る事はできないからだ。f : A -> G(B) と g : F(A) -> B の間に構造的な一致があるという意味だけだと考えた方がいいのかもしれない。この辺の事情は随伴の実例を検討しないとわからない。


このような例に限らず同様の関係はもっと複雑な構造にも現れるが、圏論の随伴関手という概念をつかえばすっきりと表現できる。

だんだん、圏論が単なる抽象化のための抽象化ではなくて、集合の概念と同じように、考えをまとめるための便利な道具のような気がしてきた。
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by tnomura9 | 2014-06-16 07:22 | 圏論 | Comments(29)
Commented by 通りすがり at 2014-08-15 10:41 x
随伴がそういうことなら、ある意味分かりやすいのですが、
一般の参考書でもそういう説明はされていないし、おそらく
ここのご説明は違っているのではないかと思うのですが。。。
実際、随伴の最も典型例である自由関手と忘却関手の随伴性を
ここに書かれたような解釈で説明することはできるでしょうか?

> 先ほどの F(A) とこの B は同じ圏 D のオブジェクトなので、これらを繋ぐ射 f があるはずだ。
それから、ここは誤解ではありませんか?
同じ圏の2つの対象の間に必ず射があるとは限りませんよね?
Commented by tnomura9 at 2014-08-15 17:51
通りすがりさん、コメントありがとうございました。
最初の御質問の自由関手と忘却関手の随伴性についてですが、勉強してみますがすぐにお答えできることができません。申し訳ありません。

2番目の御質問ですが、対象 F(A) と対象 B の間の射がない場合も射がないという状況で hom(F(A), B) と hom(A, G(B)) が同値であるという事はできないのでしょうか。つまり、空集合から空集合への同値関係にあるということです。これは圏論の専門家に聞かれる必要があると思います。

このブログは数学の素人が参考書をよんでこんなものではないのだろうかという感想を書いたものですから、もちろん内容の正しさについては保証ができません。そのような見方で参考書を読むものもいるのかというくらいの軽い気持ちで読んでいただければありがたいです。

しかし、質問していただくのは勉強になりますので大歓迎です。
Commented by 通りすがり at 2014-08-17 11:31 x
> 対象 F(A) と対象 B の間の射がない場合も射がないという状況で(後略)
当方の指摘は、「同じ圏の中の対象間には必ず射がある」というのは間違いだ、と
いう一点だけでした。ですから、その先に進んだ今回のご回答の内容については
なんともコメントができません。

> このブログは数学の素人が参考書をよんでこんなものでは
> ないのだろうかという感想を書いたものですから
はい、その意味で、大変貴重な記録として拝読しています。
Commented by tnomura9 at 2014-08-17 16:59
通りすがりさん、コメントありがとうございました。
素人は数学のような抽象的な概念をそのまま理解するのは不可能です。しかし、実例をあげたり、実験をしたりするうちに抽象的に思えた概念の意味が見えてくる事があります。素人でも抽象的な概念と具体的な事柄をむすびつけるリンクがあれば、そういう数学的知識の恩恵に浴することができるのではないかと思ってこのブログの記事を書いています。素人から数学者へのお願いのようなものです。そいういう意味でコメントはありがたいです。
Commented by 通りすがり at 2014-08-18 14:07 x
> 圏 C のオブジェクト A に射 f を適用したオブジェクトを得る計算が難しいとき
> (中略)関手 G で圏 C に戻してやり G(B) を求めるというような操作が可能になる
そういう操作は、随伴関手ではなく、むしろ同型関手によって可能になる
のではないのでしょうか?
Commented by tnomura9 at 2014-08-18 16:19
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

同型関手という用語はあるのでしょうか、圏の同型の話しであれば、御指摘の通りだと思いますが、随伴はそれよりももっと適用範囲が広いような気がします。なにしろ、例示されている数学的構造がまったくわからないなかでの、随伴の意味の推定を行ったわけですから、誤解である可能性は大きいです。御指摘の点をよく考えて、もう一度点検してみたいと思います。
Commented by 通りすがり at 2014-08-18 18:54 x
同型関手という用語はあります。ご推察の通り、ふつうの関手が
準同型写像だとすれば、同型関手は同型写像に当たります。
随伴関手は同型関手とは限りませんから、ご指摘のような
用途に使うものではないのではないかと思います。
Commented by tnomura9 at 2014-08-18 22:42
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

問題を分かりやすくするために、随伴の例をひとつ考えてみました。圏 C は対象として {2, 4, 6, ... } という偶数の要素をとるものとします。そうしてこの圏に恒等射 id と 対象の値に2を加える射 f を考えます。すると id 2 = 2, f 2 = 4 となります。また、射 f には合成関数を定義できて、例えば (f . f) 2 = 6 です。この射の合成が結合法則を満たす事は簡単に分かります。同様に自然数 {1, 2, 3, ... } の要素を対象とし、恒等射と対象に1を足す射からなる圏 B を考えます。ここで、関数手 F : C -> B を F : 2 |->1, 4 |-> 2, ... という対象関数と F : (+2) -> (+1) という射関数で定義します。また、関手 G : B -> C を対象関数 G : 1 |-> 2, 2 |-> 4, ... と射関数 G : (+1) -> (+2) で定義します。このとき任意の圏 C の対象 a と 圏 B の任意の対象 b について、φ: hom(Fa, b) =~ home(a, Gb) となるφを簡単に見つける事ができます。(次のコメントへ続きます)
Commented by tnomura9 at 2014-08-18 22:43
例えば 圏 C の対象 2 と 4 の間にはただひとつの射 (+2) があるだけで、また圏 B の対象 1 と 2 の間にはただひとつの射 (+1) があるだけなので、φ2, 2 = B(1,2) <-> C(2,4) つまり (+1) <-> (+2) です。これはつまり圏 C の対象 2 の関手 F による像である圏 B の対象 1 に射 (+1) を適用して得られる対象 2 の関手 G による像 4 が、元々の 圏 C の対象 2 に (+2) を適用して得られる対象 4 と一致するということを示しています。

この例の場合 GF = I<sub>C</sub>, FG = I<sub>B</sub> なので関手 F は同型関手ですが、随伴の場合は G は F の逆関手である必要はないにもかかわらず、圏 C の対象に関数適用した結果は、圏 B の圏 C の対象の像に対応する関数を適用して、さらに右随伴関手を適用したものと結果が一致するのです。したがって、随伴は同型関手の上のような関係をさらに一般化したものと考えられます。このため随伴 <F, G, φ> から自己関手 FG を作ってもそれが恒等関手 I にはならなくても済みます。この FG は自然変換 μ, ηとともにモナドを形成します。
Commented by tnomura9 at 2014-08-19 04:26
追記です。

御指摘の意味が分かったような気がします。同型関手の時と違い、随伴の場合は、圏 C の射に対応する圏 B の射を選ぶのに φ という余計な関数が必要だと言う事です。つまり、圏 C の射 f に対応するのが F f ではなく、φ c, b ( f ) であるという事です。「圏 C の対象の像を 圏 B に求め、g : Fc -> b を求めた後、関手 G による Gb への射との合成射を求めると、f : c -> G(b) と可換になる。」という手続きは似ていますが、g = F f ではなく、g = φ f であるというところが違います。もちろん φ = F となる場合も含まれており、この場合は F は同型関手になります。

ただ、この φ と射関数 F の差を際立たせる実例が思いつきません。結局の所参考書に実例としてあげてある数学的対象についても学習しないと本当の理解には到達できないのではないかという気がしてきました。線形写像の復習や、群論の学習あたりから始めて、トポロジー位まで勉強すれば分かるのでしょうか。
Commented by tnomura9 at 2014-08-19 07:31
自己レスです。

準同型写像、同型写像については、群の準同型写像がシンプルで分かりやすかったのでコピペしてみました。

定義 ( 準同型・同型 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を写像とする。

さらに、次が成り立つとする。

∀x,y ∈ G, f(xy) = f(x)f(y)

このとき、f を 『 準同型写像 』 という。

準同型写像が全単射であるとき、これを 『 同型写像 』 という。

G、G’の間に同型写像が存在するとき、「 G と G’は同型である 」 といい、次のように表す。

G -~ G' (-~ は実際は上下に並べてある)

元記事:http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/daisu/zyundoukei.html
Commented by 通りすがり at 2014-08-21 18:29 x
> 随伴の例をひとつ考えてみました。
この例の2つの圏は明らかに同型となるものですね。
よく引かれる例ですが、たとえば、C:実数圏、D:整数圏(どちらも射は
通常の大小関係)とすれば、より随伴らしい例になりますね。
> 対象の値に2を加える射 f を考えます
細かいのですが、ここは、fは「2の倍数だけ大きい」という関係としたほうが
よりスッキリしませんか?
> 線形写像の復習や、群論の学習あたりから始めて、トポロジー位まで
> 勉強すれば分かるのでしょうか。
いやそれでも分からないのではないでしょうか?
聡明なtnomuraさんでもそう思わせてしまう圏論自体に問題があると
思います。
Commented by tnomura9 at 2014-08-21 19:07
通りすがりさん、コメントありがとうございました。
御指摘のように、f については「2の倍数だけ大きい」のほうが圏の性質からいいかもしれません。
随伴については、腹をくくって勉強するつもりです。マックレーンの教科書にも随伴は数学的構造のいたるところにあると書いてあったので、随伴を会得する労力に見合うのではないでしょうか。Haskell の IO モナドから圏論にちょっかいを出してしまったのですが、いろいろな数学的構造を圏に閉じ込めて、圏と圏の間の関係を関手で厳密に記述し、関手の間の関係を自然変換で表すという一連の流れが少しずつ頭に染みこんできている感じです。準同型写像のように、なんとなく似ているなと思ったパターンを数学的に基礎づける方法を知った時はすごいと思ったのですが、圏論にはそれ以上に何となく似ているというものを厳密に表現できるパワーがあるのではないかという気がしてきました。圏論ってひょっとしたら結構面白いのかもしれません。
Commented by 通りすがり at 2014-08-22 22:12 x
「似ているというものを厳密に表現できる」とどんなことが
できるようになるのでしょうか?

似ていることの表現は、準同型の概念だけで十分なのでは
ないでしょうか?

随伴は、「似ている」こととどう関係しているでしょうか?


*いつも即座にお返事をいただきありがとうございます。
しかし、ご無理させているかと心苦しくもあります。
気ままな通りすがりのコメントですので、お返事が遅くても、
あるいは無くてももちろん結構ですので、ご無理くださらないよう
お願い致します。
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 04:58
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

随伴とは、圏 C と圏 D の間に関手 F : C -> D と関手 G : D -> C が存在して、圏 C の対象 c の F による D の対象 Fc と d の間に射の集合 hom(Fc, d) があるとき、Cの対象 c と Gd の間の射の集合 home(a, Gd) との間に全単射の写像 φ があり、f : Fc -> d, g : a -> Gd, φg = f としたときに、G . f . F (G と F は対象関数という意味です)が g と可換になるという事です。つまり、圏 C の対象 c と Gd とその間の射全てが、圏 D の対象 Fc と d とその間の射全てに映し出されています。この意味で随伴は f : Fc -> d と g : c -> Gd の類似を記述しています。しかし、通りすがりさんも御指摘のように、関手 G は関手 F の逆関手ではありません。
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 04:59
続きです

したがって、準同型写像だけでは不十分だと思います。F が準同型写像の場合、同型でなければ写像がつぶれてしまうので、このような記法が可能かどうか分かりませんが D/Ker からの写像でないと C に対して全単射にはなりません。さらに随伴の場合は集合の写像ではなく、射の可換についてそういう関係があることを主張しているので、写像では表現できない要素が含まれています。圏の対象は集合の要素と全く同じではありません。それについてはまだ直感的な認識なので、十分な説明ができませんが、そのことが圏論を強力な理論にしていると思います。
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 05:00
続きその2です

随伴や圏論そのものが準同型写像では表現できない数学的構造を記述する試みだったのではないでしょうか。マックレーンの教科書にしても、読みこなすためには幅広い数学の素養が必要なようです。圏論の力を知るためには、必要最小限な部分でもそれらに挑戦する必要がありますが、私は、失敗してもいいからやってみたいです。
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 08:56
追記です。
上のコメントで「D/ker からの」の部分は、「DのFの像からC/ker への」の誤りでした。失礼しました。
Commented by 通りすがり at 2014-08-23 19:25 x
「似ていることを厳密に表現できる」とどんなことができる
ようになるか(なにがしたいのか)に対するお答えはなかった
ように思います。世の中の参考書も、それがなくて、概念
(道具)の説明だけしているものがほとんどです。しかし
それはその時点で無意味です。

> 随伴や圏論そのものが準同型写像では表現できない数学的構造を
それでなにができるようになるのでしょうか?
Commented by 通りすがり at 2014-08-23 19:26 x
(続き)
少し話がずらしてしまいますが、最近目にした文章に大略
以下のようなのがありました。

微分公式として
(1) (fg)' = f'g + fg'。
これを使うと、ある条件下(x→±∞でf,g→0など)で、
(2) ∫f'g dx = -∫fg' dx。
一方、一般に
(3) ∫(Df)g dx = ∫f(Eg) dx (Dは微分作用素)
   のとき、EはDの随伴作用素という。
(3)の形式で(2)をみると、
(4) -d/dxは、d/dxの随伴作用素である
ということになる。
また、(3)において、E=Dのとき、DとEは自己随伴であるという。
Dが自己随伴のとき、
 (5) ∫(Df)fdx≧0
。。。という具合に続きます。

さて、いかがでしょうか?
上の(2)(3)あたりから(5)にかけて、私などにはどこか深遠そうに
みえる随伴がらみの議論が行われています。
しかし改めて見直してみると、ここで本質的なのは(1)だけです。
(2)から(5)は、(1)から導出される変形に過ぎません。
(3)もよく見るひねった随伴形式ですが、これにしても、
もっと素直な
(3') ∫(Df)(Eg) dx = ∫fg dx
という形式にしてもよいはずです。
こうやってどんどん随伴の装飾を削っていくと何か残るでしょうか?
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 21:58
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

「似ていることを厳密に表現できる」ということに何の利用価値があるかを見つけるのは数学の仕事ではなくて、私たちのような数学の部外者の仕事ではないかと思います。もちろん、数学の記述をきちんと理解できた場合の事ですが。それに、私の場合は単なる好奇心で調べているだけで、役に立つかどうかはあまり気になりません。

随伴作用素という用語がよくわからなかったので Wikipedia で調べてみましたが、圏論の用語ではないようですね。関数解析学の話のようでまったく歯がたちません。

通りすがりさんは、随伴関手について何を主張しようとされているのでしょうか。随伴関手はすでに確立した考え方で、応用例も多数あるように思えるのですが、それらを理解した上で反論を述べられているのでしょうか。理解できないから不必要だという議論はできないと思うのですが。また、わたしは、随伴関手について理解できていないので、随伴関手について弁護するのには不適任だと思います。
Commented by 通りすがり at 2014-08-23 22:43 x
> 何の利用価値があるかを見つけるのは数学の仕事ではなくて
趣味やお遊びならともかく、それを仕事にしている数学者が
そんなふうに思ってるでしょうか?それとも圏論の場合は
何ができるか本当に専門家にも分かっていないのでしょうか?

> 随伴作用素...圏論の用語ではない
「随伴はあらゆるところに現れる」というのですから、
マクレーンは無関係だとは言わないのではないですか?

> 随伴関手は...応用例も多数あるよう
効用が分かる応用例はどこかで読むことができますか?
Commented by tnomura9 at 2014-08-23 23:31
通りすがりさん、コメントありがとうございました。
最初の2つの質問にはいずれも現状では答えられるほどの知識がありません。お答えできるようになるのが数年後になるのかあるいはついにできないのか分かりませんが、挑戦したいと思います。これは単に楽しみのためです。3番目の御質問ですが、マクレーンの教科書にたくさんの随伴の例があげてあります。いずれも理解できません。しかし、理解できないことに挑戦するのが数学の魅力です。
Commented by tnomura9 at 2014-08-24 00:03
追記です
随伴についてのプログでの記事が不正確だというご意見であれば、それは認めます。随伴という取りつく島もないようなものを自分にも分かるようなアナロジーが適用できないかと考えただけですから。学習が進んでから取り消したくなる内容かもしれません。しかし、最初は誤解からの出発でも、学習を続ける事で真の理解に到達できるのを期待したいと思います。なぜだか分かりませんが、圏論の学習はけっこう楽しいのです。
Commented by 通りすがり at 2014-08-24 10:03 x
> マクレーンの教科書にたくさんの随伴の例があげてあります
私がお聞きしたのは、「効用が分かる応用例」でした。
マクレーンを押し入れから引き出して再確認しましたが、
「随伴の例」は多数ありますが、「随伴の応用例」はすぐには
見つかりませんでした。他の参考書も同様ですが。

> 理解できないことに挑戦するのが
追従者として理解しようとするのでなく、目指すところへ
自分で行ってみようとするのがよりよい理解に通じるのでは
ないかと私は思います。

> プログでの記事が不正確
もちろんそんなことは全く思っていません。以前にも申し上げた
通り、全般に大変貴重な記事だとリスペクトしています。

> 随伴という取りつく島もないようなもの
問題はそこですね...
Commented by tnomura9 at 2014-08-24 11:10
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

教科書の多数の例こそが「効用が分かる応用例」です。これほど多くの数学的対象が、随伴というスキーマに納まるということ自体がおどろくべきことです。

「追従者として理解しようとするのではなく、目指すところへ自分で行ってみよう」という言葉は強い矜持を感じ好感が持てます。何かを成し遂げるためにはどうしても必要な意志だからです。しかし、それ故にこそ、相手が何を言っているかを相手の論理の中できちんと理解する必要があるのではないでしょうか。独自の道をいきたいという意思を持っている人は、自分に立ちふさがる壁を自力で打ち壊す豪腕も必要だと思います。

随伴は本当に難しいですね。通りすがりさんもきっと格闘を続けられることと思いますが、私も負けずに頑張りたいと思います。
Commented by 通りすがり at 2014-08-27 13:42 x
> 教科書の多数の例こそが「効用が分かる応用例」です
随伴の例の節にある例のことを指しているのだとすれば、
あれはやはり、随伴条件の充足例であって、随伴概念の応用例
ではありません。随伴だったらどうしたの?に答えていません。
随伴概念(あるいは圏論でもいいですが)を使えば
(ほかの方法では解決困難な)こういう問題が解けるようになる、
という効用例はどこかにありますか?

> これほど多くの数学的対象が、随伴というスキーマに納まること自体
これも随伴の例の節にある例のことを指しているのだとすれば、
あそこに出てくる自由&忘却の随伴例は、何か代数系とその台集合
の対をとれば同工異曲にどんどん出てくるもので「これほど多くの
数学的対象」と驚くには当たりません。

> 独自の道をいきたい。。。自分に立ちふさがる壁を自力で打ち壊す
いえ、解くべき問題を解きたいだけです。不自然な道で浪費したく
ありません。
Commented by tnomura9 at 2014-08-27 17:33
通りすがりさん、コメントありがとうございました。

> 随伴概念(あるいは圏論でもいいですが)を使えば
(ほかの方法では解決困難な)こういう問題が解けるようになる、
という効用例はどこかにありますか?

そのことに答えることができるほどの知識はないのですが、Wikipedia の「随伴関手」の記事の引用をします。

この記事のたくさんの例ではよい数学的構造の多くが随伴関手であることを少しだけ紹介する。 このことは、左(右)随伴関手に関する一般的な定理、たとえば色々な定義のしかたの同値性や余極限(極限)を保存するという定理(このことは数学の全ての分野で見つかる)から、多くの役に立つ・非自明な結果を導くことが出来る。

新しい数学的な問題が、随伴というパターンに一致すれば、随伴に関連する全ての定理が適用できるということではないかと思います。要するに単なる手抜きです。
Commented by tnomura9 at 2014-08-27 17:34
> あそこに出てくる自由&忘却の随伴例は、何か代数系とその台集合
の対をとれば同工異曲にどんどん出てくるもので「これほど多くの
数学的対象」と驚くには当たりません。

まさに、そのことを確認したくて以前に挫折した群論の教科書を引っ張りだしているところです。随伴には数多くの数学の分野の例がありますが、自由群への関手と忘却関手の例は、群論を勉強するだけで理解できるようになります。すこし、ターゲットが絞れた感じです。

> 解くべき問題を解きたいだけです。

まさに、ポイントはそこだと思いますが、通りすがりさんは随伴を何に利用したいと思っておられるのでしょうか。それによってアプローチする方法が決まってくると思います。
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