部分対象 (subobject)

1. 単射、全射

前回の記事で集合の単射、全射、全単射が射のみで定義されるのを見てきた。単射の場合は、

f : A -> B に対して任意の C, g : C -> A, h : C -> B について

f . g = f . h ならば g = h

が mono つまり単射の定義だし、全射の場合は、

f : A -> B に対して任意の C, g : B -> C, h : B -> C について

g . f = h . f ならば g = h

が epi つまり全射の定義だった。

2. 部分集合

しかし、集合には部分集合がある。一体全体これをどう射のみで定義するのだろうか。圏論では対象の要素を表現する言葉がない。そのような道具でどうやって部分集合のような必然的に要素を問題とするような事態を表現できるのだろうか。ところが、それは mono 射を用いれば簡単にできるのだ。

いま対象Aから対象Bへの射 f が mono である場合を考えてみよう。つまり、

f : A >--> B (>--> は射が mono であることを表す)

である。この場合 f の始域と定義域は同じで、それは集合 A である。また、仮定から f は A から B 上への単射である。このとき、f による A の像 B1 すなわち B1 = f (A) は B の部分集合である。さらに、f : A -> B1 のように f を A から B1 への写像と考えると f は明らかに全単射である。したがって、集合 A の要素と集合 B の部分集合 B1 の要素は f によって1対1に対応している。

このように集合 A と射 f は集合 B の部分集合 B1 を定める事が分かる。したがって、射 f が mono のとき、集合 A は集合 B の部分対象と呼ばれる。つまり、B の部分集合は mono である射 f が代表していることになる。

3. 部分射

この考え方を用いると、集合 A の部分集合から集合 B への射 (f, g) を定義することができる。(f, g) のようにペアで表現されているが、射の組み合わせではなく単一の射だ。なぜ、射の組で表すのかは次の説明で分かる。

いま対象(集合)A, B, C という3つの対象があるとする。いま f : C -> B および g : C >--> A が与えられているとする。このとき h : A -> B という射を次のような射の可換があるようにとる。

f = h . g

これにはどういう意味があるのだろうか。

まず、g : C >--> A は mono だから、対象 C と射 g で対象(集合) A の部分集合を定める。また、f は対象 C から対象 B への射である。したがって h を上の式が可換になるようにとれば、h は対象 A の部分集合から対象 B への射を表すことができることが分かる。そこで h を A から B への「部分射」 (partial arrow) と呼び、(f, g) のように射の対で表す。また、記号では h : A ^^^-->B で表す。

4. 終対象と集合の要素

これで、集合の部分集合も射で表すことができることがわかった。それでは、集合の要素はどのようにして射で表すのだろうか。そのためにまず「終対象」という概念を導入しなければならない。圏論での「終対象」の定義は次のようになる。

定義 (終対象)
任意の対象 A について、A -> B なる射が一意的に存在するとき、対象 B は「終対象」 (terminal object) と呼ばれ、記号 1 で現わされる。また A -> 1 なる一意的な射は記号 !A で表される。

このような終対象 B は集合の圏 Set では要素が1個だけの集合 singleton だ。なぜそうなるかというと、f : A -> 1 となる f は対象 A の全ての要素を 1 のたった1個の要素に対応させる射である。そうして、このばあいその他の射(写像)は作ることができないので f は A -> 1 の唯一の射になる。

逆に g : 1 -> A は 1 の唯一の要素から対象 A の1つの要素を対応付ける射になる。そのような射は対象 A の要素の数だけ、つまり a0 = g0(t), a1 = g1(t), a1 = g2(t), ... のように A の要素と1対1に対応する射を考えることができる。したがってこのような 1 -> A の射は A の「要素」 element と呼ばれる。

こういうわけで、めでたく集合 A の要素についても 1 -> A の射で表すことができた。集合、単射、全射、全単射、部分集合、集合の要素をすべて射のみで表すことができたので、集合に関する記述は全て射のみで表すことができる。

5. 全てを射で表す

そういう見方でみると、射であらわされた定義が意外に簡潔であることが分かる。つまり、

写像は、f : A -> B
単射は、f . g = f . h ならば g = h
全射は、g . f = h . f ならば g = h
全単射は、f-1 . f = idA かつ f . f-1 = idB
部分集合は、f : A >--> B
始域が部分集合に制限された射は、(f, g) : A ^^^--> B
集合の要素は、f : 1 -> A

のような簡潔な部品で表すことができる。圏論の理論はこれらの基本的な道具を組みあわせていくだけだ。

これらの定義の利点はなんだろうか。

それは、集合の圏 Set に関する定理は、集合の言葉で論証することもできるし、このような圏の言葉で論証することもできるということだ。そうして、圏の定義は射のみで定義されているために、対象である集合の内部構造に全く踏み込む必要がなくるということが大切だ。圏論のさまざまな定理は、圏論の参考書に書いてある矢印の図形を調べるだけで論理的な組み立てができてしまう。

さらに、圏論では圏の条件を満たしている数学的な構造ならば、集合の圏でなくてもなんでも射についての推論だけで論証していくことができる。なんと便利な道具なのだろう。
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by tnomura9 | 2014-04-09 23:13 | 圏論 | Comments(0)
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