endomap の構造

集合 A に 集合 A から集合 A 自身への写像を定義することもできるが、この写像は endomap と呼ばれる。x1, x2 を集合 A の要素とすると、endomap α は、

x2 = α x1

で表す事ができる。x2 もまた集合 A の要素なので α を関数適用できるからその値を x3 とすると、

x3 = α x2 = α (α x1)

となる。さらに x3 にも α を関数適用すると ... というように最初の要素 x1 から始まって次々に関数適用していく事ができる。

x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> ... -> xn -> ...

このような要素の連鎖を考えていくとこの連鎖にいろいろなパターンがある事が分かる。最も小さなパターンは不動点 fixed point だこれは x1 に α を関数適用すると x1 になる場合だ。

x1 = α x1

これは集合の中の一点から発してその点に戻るループの矢印を書いてみると分かりやすい。

fixed poin ほどは端的でなくても、いくつかの点を経てもとの点に戻ってくる場合を cycle という。

x1 -> x2 -> x3 -> x1

というような場合だ。cycle は各点を結んで巡回する円弧の矢印で結んでみると分かりやすい。

3つ目のパターンは fixed poin や cycle のようにもとに戻ってくる事はなく、最後まで違う要素に写像される場合だ。無限集合の場合は、この連鎖はどこまでも続く事ができるが、有限集合ではそれはできない。有限集合ではこのような連鎖は必ず fixed point や cycle の点につながらなくてはならない。なぜなら、endomap α の関数適用は無限に続ける事ができなければならないからだ。

このような endomap の構造 fixed point や cycle や元に戻らない連鎖は、一般的なものだ。endomap α は集合 A の要素を集合 A の要素のどれかに対応させるという機能しか定義されていないからだ。

このような endomap α によって与えられた集合 A の構造を、別の集合 B へ写像するとき、その endomap β による集合 B の構造に繁栄させるためには、上に述べたような集合の要素の特性 property も保たれている必要がある。それに関しては、まだ頭の整理がついていないが、『Conceptural Mathematics 』にいろいろと解説してある。理解できたら、また、記事にしてみたい。
[PR]
by tnomura9 | 2013-09-07 22:54 | 圏論 | Comments(0)
<< 8クイーン問題 マジカルナンバー3 >>